Рівняння

За теоремою Вієта: x1 = 6, x2 = −4. Корінь x = −4 не задовольняє умову задачі, тому що час — число додатне­ .

4 6 (6+6) ≠ 0;  6+ 6 = 12.

Відповідь: першій бригаді потрібно 6 днів, другій — 12 днів.

Квадратні рівняння

К в а д р ат ним р івнянням називається рівняння виду ax2 +bx+c = 0, де х — невідоме, a, b, c — деякі числа, причому a ≠ 0.

Числа a, b, c — коефіцієнти квадратного рівняння: a — перший коефіцієнт, b — другий коефіціент, c — вільний член. Якщо a = 1, рівняння називається ­зве де ним. Якщо ­хоча б один із коефіцієнтів b або c дорівнює 0, рівняння називається н е п о вним.

Види неповних квадратних рівнянь і їх розв’язання

1.Якщо b = 0, c = 0, квадратне рівняння набуває вигляду ax2 = 0 і має один корінь x = 0.

2.Якщо c = 0, b ≠ 0, квадратне рівняння набуває вигляду

ax2 +bx = 0. Розв’язуючи ­його, маємо: x(ax+b) = 0; x = 0 або ax+ b = 0.

Рівняння має два корені: x1 = 0 і x2 = − b .

a

3.Якщо c ≠ 0, b = 0, квадратне рівняння набуває вигляду ax2 +c = 0.

ax2 = −c;  x2 = − ac .

Якщо − c > 0, рівняння має два корені:

Якщо − c < 0, рівняння коренів не має.

a

127

Алгебра та елементарні функції

Виділення повного квадрата

Розв’язування квадратного рівняння с п о со б о м ви ­ ді л е ння к в а д р ат н о го дво ч л е на розглянемо на прикладі.

3x2 −5x− 2 = 0.

Розв’язання

Поділимо всі коефіцієнти рівняння на перший коефіцієнт: 3x2 −5x− 2 = 0 :3 й отримаємо таким чином зведене квадратне­ рівняння:

x2 − 5 x− 2 = 0;  x2 − 2 5 x− 2 = 0.

3 3 6 3

Для того щоб отримати повний квадрат, треба додати

івідняти від лівої частини рівняння 5 2:

6

128

Рівняння

Вираз b2 −4ac називається д и с к р и м і н а н т о м і позначається буквою D.

Кількість коренів квадратного рівняння

1.Якщо D < 0, рівняння не має коренів.

2.Якщо D = 0, рівняння має один корінь: x = − b .

2a

3. Якщо D > 0, рівняння має два корені:

Для квадратних рівнянь із парним другим коефіцієнтом зручніше користуватися формулою, наведеною нижче.

Теорема Вієта

Теорема 1 (Вієта). Якщо незведене квадратне рівняння

корені, то x1 +x2 = − p; x1 x2 = q.

Коли рівняння має один корінь, його можна вважати

Зверніть увагу: для того щоб скористатися формулами теореми Вієта, треба спочатку переконатися у наявності коренів рівняння, перевіривши знак його дискримінанта.

Приклади

Знайти суму й додаток коренів рівняння.

1)3x2 −5x+2 = 0;

D =25−3 2 4 =1 — додатне число, і це означає, що рів-

няння має два корені.

129

Алгебра та елементарні функції

2) x2 +3x+10 = 0;

D = 9−40 = −31 — від’ємне число.

Рівняння не має коренів, знайти їх суму та добуток неможливо.

Теорема 2 (обернена до теореми Вієта для зведених квадратних рівнянь). Якщо сума й добуток чисел x1 і x2 дорівнюють відповідно p і q, то x1 і x2 є коренями рівняння x2 + px+q = 0.

Із теореми Вієта випливає, що цілі розв’язки рівняння x2 + px+q = 0 є дільниками числа q. Користуючись оберненою теоремою, можна перевірити, чи є та чи інша пара дільників q коренями даного рівняння. Це дає можливість усно розв’язувати значну кількість зведених квадратних рівнянь.

Під час розв’язування треба також враховувати такі

ви с н о вк и з т е о р е ми Ві є та.

1.Якщо q < 0, x1 і x2 мають різні знаки.

2.Якщо q > 0, x1 і x2 — обидва від’ємні чи обидва додатні.

Знак x1 і x2 є протилежним до знака p.

Приклад

x2 −8x−9 = 0.

За теоремою Вієта:

x1 x2 = −9;  x1 +x2 = 8;  9 =1 9 =3 3.

Очевидно, що 8 = 9+(−1) .

Відповідь: x1 = −1; x2 = 9.

Рівняння, що зводяться до квадратних

Приклади

1) x4 −25x2 +144 = 0.

Нехай x2 = y,  y 0.

y2 −25y+144 = 0. Розв’язавши це квадратне рівняння, знайдемо:

130

Рівняння

t1 = −6;  t2 = −8.

t1 і t2 не задовольняють умову t 0. Відповідь: коренів немає.

Введення нової змінної дає можливість звести до квад­ ратних і деякі інші види ­рівнянь.

Приклади

131