Стереометрія

2.Якщо з точки до площини проведені дві похилі, то більша та з них, яка має більшу проекцію, і навпаки, біль-

ша похила має більшу проекцію.

Зверніть увагу, що ці властивості зберігаються для похилих, які проведені до площини з різних точок, але мають однакову довжину перпендикуляра (рисунок справа).

Теорема про три перпендикуляри

Теорема 1. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до похилої (див. рисунок). І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Приклади застосування теореми про три перпендикуляри

1. На рисунку ABCDA1B1C1D1 — куб.

DC1 AD, тому що: CC1 — перпендикуляр,

C1D — похила,

 СD — проекція.

305

Геометрія

B1 C1

A1 D1

B C

A D

2.На рисунку BCD = 90°, тоді AC CD, тобто AC є відстанню від точки A до прямої CD.

AB — перпендикуляр, AС — похила,

BС — проекція.

A

B D

C

3.На рисунку ABCD — прямокутник, у даному випадку квадрат.

PA AD; PC DC.

APB, PBC, CPD,

APD — прямокутні.

P

BC

AD

4.На рисунку ABCD — ромб. KO BD .

K

BC

O

AD

306

Стереометрія

5.На рисунку нижче ABC — рівнобедрений, AB = BC.

BD — бісектриса (медіана, висота), FD AC. FB — перпендикуляр,

FD — похила, BD — проекція.

F

B

C

A

Теорема  2.  Пряма, перпендикулярна до площини трикутника і проведена через центр вписаного в нього кола (див. рисунок), є геометричним місцем точок простору, рівновіддалених від сторін трикутника.

Перпендикулярність площин

Дві площини, що перетинаються, називаються п е р ­ п е н д и к ул я р н и м и, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих двох площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих (див. рисунок).

Будь-яка площина, перпендикулярна до прямої перетину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.

307

Геометрія

Ознака перпендикулярності площин

Теорема 1 (про перпендикулярність). Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні (див. рисунок нижче зліва).

Теорема 2. Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна і до другої площини (див. рисунок прворуч).

β

α

α

b

β

Приклад застосування теореми 2

Нехай є дві перпендикулярні площини α і β, які перетинаються по прямій a (див. рисунок). Знайдемо відстань від точки A, яка лежить в площині α і не лежить в площині β, до площини β.

308

Стереометрія

A

α a

B

β

У площині α будуємо перпендикуляр до a через точку A. Нехай він перетинає a в точці B. AB — шукана відстань.

Зверніть увагу на таке.

1.Через точку поза площиною можна провести безліч площин, перпендикулярних до цієї площини (див. рисунок). (Але всі вони пройдуть через перпендикулярну до цієї площини пряму, яка проходить через дану точку.)

A

α

2.Якщо площина перпендикулярна до даної площини, то це не означає, що вона перпендикулярна і до довільної прямої, паралельної цій площині.

Наприклад, на рисунку нижче α β,

α і β перетинаються по прямій b,

a b, причому a не лежить в жодній із площин α і β. Отже, пряма a водночас паралельна двом перпендикулярним площинам.

309

Геометрія

a α

b

β

3.Якщо площина й пряма, що не належить цій площині, перпендикулярні до однієї і ­тієї самої площини, то ці площина й пряма паралельні.

На рисунку: α β;  a α;  a β.

a

β

α

4.Через довільну пряму, яка не перпендикулярна до даної площини, можна провести єдину площину, перпендикулярну до ­даної.

5.Якщо дві площини перпендикулярні, то пряма, яка є перпендикулярною до однієї із цих площин і проходить через їх спільну точку, обов’язково буде лежати в другій площині (див. рисунок).

α

A

β

310