Алгебра та елементарні функції

x3 =1,  x4 = −1,5.

Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь

1. cos x = a

Розв’язки рівняння cosx = a шукатимемо, спираючись на рисунок нижче зліва або на рисунок нижче справа.

Якщо a >1, розв’язків немає.

cosx =1, x =2πn, n Z.

cosx = −1, x = π+2πn, n Z.

cosx = 0, x = π +πn, n Z.

2

Загальнийвипадок ( a <1, a ≠ 0): cosx = a,x=± arccos a+ + 2πn, n Z.

132

Рівняння

У випадках, коли a = 0, a = ±1, теж можна користуватися загальною формулою, але це не так раціонально.

Розв’язки, які описуються загальною формулою, можна поділити на дві серії:

x1 = arccos a + 2πn, n   Z; x2 = - arccos a + 2πn, n   Z.

2. sin x = a

Розв’язки шукатимемо, спираючись на рисунок нижче зліва або на рисунок нижче ­справа.

Якщо a >1, розв’язків немає.

sinx = 0, x = πn, n   Z. sinx =1, x = π +2πn, n   Z.

2

sinx = −1, x = − π +2πn, n   Z.

2

Загальний випадок ( a <1, a ≠ 0): x = (−1)k arcsina+πk, k   Z.

Множина розв’язків розбивається на дві серії:

3. tg x = a

Розв’язки запишемо, спираючись на рисунок нижче зліва або на рисунок нижче справа.

x = arctga+πn, n   Z.

133

Алгебра та елементарні функції

22

arctg a

4.ctg x = a

x = arcctga+πn, n   Z.

Якщо a = 0, x = π +πn, n   Z.

2

Якщо a ≠ 0, можна звести дане рівняння до рівняння

tgx = 1 . a

Приклади

134

Рівняння

x1 = 8πn, n   Z;

x2 = − 4π −8πn, n   Z.

3

2) cos3xcosx+sin3xsinx = − 2 ;

2x = ± 3π +2πn, n   Z;

4

x = ± 3π +πn, n   Z.

8

Деякі способи розв’язування тригонометричних рівнянь

1. Рівняння, що зводяться до квадратних

6cos2 x+5sinx−7 = 0.

cos2 x легко виразити через sin2 x за допомогою основ­ ної тригонометричної тотожності cos2 x+sin2 x =1:

135

Алгебра та елементарні функції

Відповідь: (−1)k 6π +πk,  k   Z;

(−1)k arcsin 1 +πk,  k   Z.

3

2.Спосіб розкладання на множники

1−cos8x = sin4x;

2sin2 4x = sin4x;

sin4x(2sin4x−1) = 0;

Якщо під час розв’язування одержуємо сукупність кількох серій розв’язків, доцільно перевірити, чи не можна їх описати загальною формулою. Для цього рекомендується використовувати тригонометричне коло:

y

Ox

Наприклад, позначивши на колі дві серії:

136

Рівняння

бачимo, що відповідь можна записати у вигляді x = π +πk,

3.Однорідні рівняння

Узагальному випадку однорідне тригонометричне рівняння має вигляд:

a0 sinn x = 0, звідки sinx = 0. Але sinx і cosx не можуть перетворитися на 0 одночасно.

Із цього випливає, що при діленні обох частин рівняння на cosn x не може відбутися втрата коренів.

Отримуємо: a0 tgn x+a1 tgn−1 x+…+an = 0.

Введемо нову змінну tgx = y і дістанемо алгебраїчне

рівняння: a0yn +a1yn−1 +…+an = 0.

Зверніть увагу: якщо cosk x у лівій частині рівняння можна винести за дужки, то ділення на cosk x веде до втрати коренів.

Приклади

1)5sin2 x+3sinxcosx+4cos2 x =3; 5sin2 x+3sinxcosx+4cos2 x−

−3(sin2 x+cos2 x) = 0;

2sin2 x+3sinxcosx+cos2 x = 0;

Відповідь: − π +πn,  n   Z;

4

137

Алгебра та елементарні функції

2)sin2 x−sin2x = 0; sin2 x−2sinxcosx = 0;

sinx(sinx−2cosx) = 0;

Відповідь: x = πn, n   Z, x = arctg2+πn, n   Z.

4. Спосіб введення допоміжного аргументу

Цей спосіб застосовується для розв’язання рівнянь ви-

ду a sin x + b cos x = c  (a > 0).

Поділимо обидві частини рівняння на a2 +b2 . Діста­ немо:

138

Рівняння

Можна прийняти:

5.Рівняння, що містять тригонометричні функції у знаменнику. Відбір коренів

Відбір коренів зручно виконувати, скориставшись тригонометричним колом.

Позначимо на колі точки, що відповідають кутам виду

π + πn, n   Z.

2

Потім відкинемо (виколемо) ті з них, які мають вигляд

−π +2πk, k   Z (див. рисунок нижче).

2

139

Алгебра та елементарні функції

sin x

Ocos x

Відповідь: π + 2πn,  n   Z.

2

6.Випадок, коли треба знайти тільки певні розв’язки

Приклад. Скільки розв’язків рівняння

Треба відповісти на запитання, скільки розв’язків нале-

I c по сіб. Розглянемо нерівності:

140