|
|
|
|
|
|
Узагальнення поняття степеня |
|
|
|
|
|
|
|
а) |
3 |
|
= |
3( |
x + y ) |
, ОДЗ — область допустимих |
|
|
|
|
|||
x − |
|
|
x − y |
|||
|
y |
|
|
|||
значень (тобто множина значень х, для яких усі вирази,
|
|
|
|
|
|
x 0, |
|
що входять до рівняння, мають зміст): y 0, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≠ y. |
|
б) |
a − |
2 |
= |
(a − |
2 )2 |
, ОДЗ: a ≠ ± 2 . |
|
a + |
2 |
a2 |
−2 |
||||
|
|
|
|||||
3) Використання тотожностей:
a3
а)
±b3 = (a±b)(a2 |
± |
|
2= 2(3 52
3 5 + 3 7
ab+b2 ).
− 3 35 + 3 72 ) =
5+7
= |
1 |
(3 25 − 3 35 + 3 49 ). |
|
|
||||
|
|
|
||||||
6 |
|
|
3a( 3 |
|
b ) |
|
||
б) |
|
|
3a |
= |
a + 3 |
, a ≠ −b. |
||
|
|
|
|
|
||||
3 a2 − 3 ab + 3 b2 |
|
a +b |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
4.Добування кореня з радикалів
Приклад
x6 5 x2 = 5 x32 =10 x32 = x3 10 x2 = x3 5 x .
Узагальнення поняття степеня
Основнi означення
1. Якщо n N, n >1, то an = a…a, де a — довільне число.
nразів
2.a1 = a, де а — довільне число.
3.a0 =1 для a ≠ 0. 00 не має змісту.
75
Алгебра та елементарні функції
4. |
a−n = |
1 |
, n N, a ≠ 0. |
|||
an |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
m |
|
|||
5. |
a |
|
= n am , n N, m Z, a > 0. |
|||
n |
||||||
Властивості степеня з раціональним показником
Для будь-яких раціональних чисел r і s і будь-яких додатних a і b виконуються такі рівності .
1.ar as = ar+s.
2.ar :as = ar−s.
3.(ar )s = ars.
4.(ab)r = arbr.
|
|
a r |
ar |
||
5. |
|
|
= |
|
. |
|
|
||||
|
|
b |
br |
||
6. |
Якщо 0 < a < b, то ar < br для r > 0; ar > br для r < 0. |
||||
7.Якщо r > s, то ar > as для a >1; ar < as для a <1.
Поняття степеня з ірраціональним показником
Нехай a — будь-яке додатне число, яке не дорівнює 1,
α— будь-яке ірраціональне число.
Розглянемо три випадки.
1. a >1, α > 0.
Наприклад, 3 3 ; 7π. Степінь aα означає таке число, яке більше від усякого степеня aα1, але менше від усякого степеня aα2, де α1 — будь-яке раціональне наближення числа a, взяте з недостачею, а α2 — будь-яке наближення числа a, взяте з надлишком. Зверніть увагу: таке дійсне число існує,
ідо того ж єдине. 2. 0 < a <1, α > 0.
Наприклад, |
1 |
|
5 |
.Тоді під степенем aα |
розуміють чис- |
|
|
||||
|
7 |
|
|
|
|
ло, яке менше від будь-якого степеня aα1, але більше від будь-якого степеня aα2.
76