Алгебра та елементарні функції

функція y = f(x) визначена і f(x) > f(x0 ) для всіх x ≠ x0 із цього інтервалу.

Точку x0 називають то чко ю макс и ­м у м у фу нк­

ц ії y = f(x), а саме число y0 = f(x0 ) — макс им у м о м фу нк ц ії, якщо існує інтервал (x0 −δ; x0 +δ), δ > 0, на яко-

му функція y = f(x) визначена і f(x) < f(x0 ) для всіх x ≠ x0

із цього інтервалу.

Загальна назва для точок максимуму і мінімуму — то чк и е кс т р е м у м у, а для значень функції в цих точ-

ках — е кс т р е м у ми ­фу нк ц ії.

Степенева функція

Функцію f(x) = xp, де x — змінна, а p — стале дійсне число, називають с т е п е н е во ю фу нк ц і є ю.

Властивості степеневої функції залежать від значення p.

1.p   N. Тоді D(y) = R; y(0) = 0; y(1) =1.

Якщо p — непарне, знак y збігається зі знаком x; функ-

ція непарна й зростає на всій області визначення. Якщо p — парне, y 0 для всіх значень x; функція парна. Якщо x < 0, функція спадає, якщо x > 0, функція зростає.

2.p   Z; p < 0. Тоді D(y) = (−∞; 0) (0; +∞).

Графік складається з двох віток; y(1) =1.

Якщо p — непарне, то для всіх значень x D(y) знак функції збігається зі знаком аргументу.

Функція непарна, спадна на кожному з проміжків

(−∞; 0) і (0; +∞) .

Якщо p — парне, y 0 для всіх x; функція парна. Якщо x > 0, функція спадає, якщо x < 0, функція зростає.

На рисунках, поданих нижче, наведені графіки степеневої функції для різних значень p:

100

Функції та графіки

Показникова функція

Функція y = ax, де a > 0 і a ≠ 1, називається п о к а з н и ­ ко во ю (з основою а).

Властивості показникової функції y = ax (a > 0, a ≠ 1):

101

Алгебра та елементарні функції

3.Функція не є ні парною, ні непарною.

4.Графік функції розміщений у верхній півплощині, перетинає вісь Oу у точці (0; 1), вісь Oх є для нього асимптотою.

6.Якщо ax1 = ax2 , то x1 = x2 .

7.Якщо N > 0, то існує, і до того ж єдине, значення x, при якому ax = N. (Тобто рівняння ax = N завжди має розв’язок, і до того ж єдиний, якщо a > 0, a ≠ 1, N > 0.) На рисунку внизу зліва зображений графік показни-

кової функції y = ax при a > 1; на рисунку справа — при

0 < a < 1.

Логарифмічна функція

Функцію y = loga x (a > 0, a ≠1) називають л о г а р и ф ­ мічн о ю фу нк ц і є ю з основою a. Логарифмічна та показ-

никова функції є взаємно оберненими. Властивості логарифмічної функції

102