Координати та вектори. Декартові координати в просторі

Оскільки координатні вектори відмінні від нуля й неколінеарні, то будь-який вектор a(a1 ; a2 ) можна розкласти за цими векторами­ :

a = a1e1 + a2e2 .

Декартові координати в просторі

Візьмемо три взаємно перпендикулярні прямі Oх, Oy, Oz, які перетинаються в одній точці О (див. рисунок).

Проведемо через кожну пару цих прямих площину. Площина, яка проходить через прямі Oх і Oу, називається площиною Oxy. Дві інші площини називаються відповідно

Oxz і Oyz.

Прямі Ox, Oy, Oz називаються к о о р д и н а т н и м и о с я м и (Ox — вісь абсцис, Oy — вісь ординат, Oz — вісь аплікат).

Візьмемо тепер довільну точку А й проведемo через неї

361

Геометрія

зивається число, яке дорівнює за абсолютною величиною довжині відрізка OAx . Це число додатне, якщо точка Ax лежить на додатній півосі Оx, і від’ємне, якщо точка Ax лежить на від’ємній півосі.

Якщо точка Ax збігається з точкою О, то вважаємо, що x = 0. Аналогічно означаємо координати y і z точки A. Координати точки записуватимемо в дужках поряд із буквеним позначенням точки: A(x; y; z) .

Якщо точка A не належить жодній із координатних площин, то ці площини разом із трьома паралельними їм площинами, які проходять через точку А, обмежують прямокутний паралелепіпед.

Зверніть увагу на таке.

1) AAx осі Oх; AAy осі Oу; AAz осі Oz (див. рисунок).

Для розв’язування задач координатним методом користуються формулою

A1 A2 = (x2 −x1 )2 +(y2 −y1 )2 +(z2 −z1 )2 , що визначає відстань між точками A1(x1 ; y1 ; z1 ) і A2(x2 ; y2 ; z2 ).

362

Координати та вектори. Декартові координати в просторі

Перетворення в просторі

Поняття перетворення для фігур у просторі визначають так само, як і на площині.

Р у х о м називається перетворення, при якому зберігаються відстані між точками.

В л а с т и в о с т і р у х у в п р о с т о р і: прямі перехо-

дять у прямі, півпрямі — у півпрямі, відрізки — у відрізки, кути між півпрямими зберігаються, площина переходить

уплощину.

Зр а з к и р у х і в у п р о с т о р і: симетрія відносно точ-

ки; симетрія відносно прямої; симетрія відносно площини (аналогічна симетрії відносно прямої).

Приклад

Дана точка A(3; 5; 2).

Знайти точки, симетричні даній відносно координатних площин.

Відповідь: точка, симетрична точці А відносно Oху, — це (3; 5; −2), відносно Oyz — це (−3; 5; 2), відносно Oxz —

це (3; −5; 2) .

П а р а л е л ьн и м п е р е н е с е н н я м у просторі назива-

ється таке перетворення, при якому довільна точка (x; y; z) переходить у точку (x+a; y+b; z+c), де числа a, b, c — одні й ті самі для всіх точок (x; y; z).

Паралельне перенесення є рухом.

У результаті паралельного перенесення точки зміщуються вздовж паралельних прямих (або прямих, що збігаються) на одну й ту саму відстань.

1.У результаті паралельного перенесення кожна пряма переходить у паралельну їй пряму (або в себе).

2.Які б не були точки А і A′,існує єдине паралельне перенесення, у результаті якого точка А переходить у точку­ A′.

3.У результаті паралельного перенесення в просторі кожна площина переходить або в себе, або в паралельну їй площину.

363