Рівняння

Рівність, що містить невідоме число, називається р і в­ н я н н я м.

Значення невідомого, при якому рівняння перетво-

ни мають одні й ті ж корені; рівняння, які не мають коренів, також вважають рівносильними.

Основні властивості рівнянь

1.Якщо виконати тотожні перетворення деякої частини рівняння, то одержимо рівняння, рівносильне даному.

2.Якщо деякий доданок перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то одержимо рівняння, рівносильне даному.

3.Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне і те ж відмінне від нуля число, то одержимо рівняння, рівносильне даному.

Приклади

1)3(4x−1) +5 = 8(x+2) +3,

12x−3+5 = 8x+16+3, 12x−8x =16+3+3−5, 4x =17,

x = 174 , x = 4 14 .

2) 5− 1−42x = 3x6+20 + x3 .

Помножимо обидві частини наведеного рівняння на НСК (4; 6; 3), тобто на 12:

60− 124 (1−2x) = 126 (3x+20) + 123 x,

60−3(1−2x) =2(3x+20) +4x,

121

Алгебра та елементарні функції

4x =60−3−40,

4x =17, x = 4,25.

Отже, при розв’язуванні рівнянь доцільно спростити обидві частини, потім усі доданки, які містять невідоме, зібрати в одній частині, а ті, що не містять невідомого, — у другій та звести подібні доданки.

Лінійні рівняння з одним невідомим

Рівняння виду ax = b, де a і b — деякі числа, а х — невідоме, називається лінійним р івнянням з одним невідомим.

Числа a і b називають ко е фіц і є н тами.

Кількість коренів лінійного рівняння

1.Якщо a ≠ 0, лінійне рівняння має єдиний корінь:

x = ab .

2.Якщо a = 0, b ≠ 0, лінійне рівняння коренів не має, бо рівняння набуває вигляду 0 x = b.

3. Якщо a = 0, b = 0, лінійне рівняння набуває вигляду 0 x = 0, де х — довільне число, і рівняння має безліч коренів.

Приклади

1)2(x−11) −5(5−2x) = −23, 2x−22−25+10x = −23, 12x = −23+47,

12x =24, x =2.

2)12+3(2(x−1) −4) =6(x+1), 12+3(2x−2−4) =6x+6, 12+6x−18 =6x+6,

0 =12; рівняння коренів не має.

3)x2 − x3+3 − x4−3 = x6 .

122

Рівняння

Помножимо обидві частини наданого рівняння на найменше спільне кратне (НСК) знаменників рівняння. НСК

(2; 3; 4; 6) =12.

6x−4(x+3) −3(x−3) =2x,

6x−4x−12−3x+9 =2x, 6x−4x−3x−2x =12−9,

−3x =3, x = −1.

Розв’язування задач за допомогою рівнянь

Задача 1. За зміну три робітники виготовили партію деталей. Перший робітник виготовив 30 % усіх деталей, другий — на 5 деталей менше, ніж третій, і на дві деталі більше, ніж перший. Скільки всього деталей виготовили робітники разом?

Розв’язання

Нехай робітники виготовили х деталей. Тоді перший виготовив 0,3х деталей, другий — (0,3x+2) деталей, а третій — решту, тобто (x−0,3x−(0,3x+2)) деталей. За умовою задачі другий виготовив на 5 деталей менше, ніж третій. Складемо й розв’яжемо рівняння:

0,3x+2+5 = x−0,3x−(0,3x+2), 0,3x+7 = 0,7x−0,3−2,

0,3x+7 = 0,4x−2, 0,1x = 9,

x = 90.

Відповідь: 90 деталей.

Задача 2. Автомобіль мав подолати шлях 140 км за 2 год. Деяку частину шляху він проїхав зі швидкістю 60 км/год, а решту шляху — зі швидкістю 75 км/год. Скільки кіломет­ рів проїхав автомобіль зі швидкістю 60 км/год, якщо відомо, що до місця призначення він прибув вчасно?

123

Алгебра та елементарні функції

Розв’язання

Нехай автомобіль проїхав зі швидкістю 60 км/год х км. Тоді на цю частину шляху він витратив 60x год. Решту шля-

ху, тобто (140−x) км, він проїхав зі швидкістю 75 км/год

і витратив на це 140 − x год. На весь шлях він витратив

75

2 год. Складемо й розв’яжемо рівняння:

60x + 14075− x =2 300,

5x+4(140−x) =600, 5x+560−4x =600, x = 40.

Відповідь: 40 км.

Дробові раціональні рівняння

Др о б о ве р ац іо на льн е р івняння — це рівнян-

ня, у якого ліва або права частина або обидві — дробові вирази. Для його розв’язання доцільно діяти у такий спосіб:

1)перенести всі доданки в один бік;

2)звести їх до спільного знаменника;

3) до одержаного рівняння виду a = 0 (де a і b — деякі цілі

b

вирази) застосувати умову рівності дробу нулю;

4)знайти корені чисельника;

5)перевірити, чи не дорівнює знаменник нулю при цих значеннях невідомого;

6)записати відповідь.

Приклад

124

Рівняння

Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля:

До дробових раціональних рівнянь приводить велика кількість задач на рух та спільну роботу.

Приклади Задача 1 (на рух). Теплохід пройшов течією річки

150 км і повернувся назад, витративши на весь шлях 5,5 год. Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість теплохода в стоячій воді 55 км/год.

Розв’язання

Нехай швидкість течії річки х км/год. Тоді за течією теплохід рухався зі швидкістю (55+x) км/год і пройшов

150 км за 150 год. Проти течії теплохід рухався зі швид-

55+ x

2 150 (55−x)+2 150 (55+ x) − 2 (55+ x)(55−x)

125

Алгебра та елементарні функції

11x2 −275 = 0, x2 =25,

x1 =5; x2 = −5. Розв’язок -5 не задовольняє умову задачі: швидкість — число додатне.

Відповідь: швидкість течії 5 км/год.

Задача 2 (на спільну роботу). Дві бригади, працюючи­ разом, виконали певне завдання за 4 дні. Скільки днів потрібно на виконання цієї роботи кожній бригаді окремо, якщо першій бригаді для цього потрібно на 6 днів менше, ніж другій?

Розв’язання

Нехай перша бригада може виконати це завдання за х днів. Тоді другій потрібно (x+6) днів. Це означає, що за

тину всього завдання. За умовою задачі разом вони можуть

виконати все завдання за 4 дні, тобто в день дві бригади,

працюючи разом, виконують 1 всього завдання.

4

Складемо й розв’яжемо рівняння:

x2 −2x−24 = 0.

126