КОМбінаторика. початки теорії ймовірностей. математична статистика

Елементи комбінаторики

Поняття м н о ж и н и належить до первісних понять математики, якому не дається означення­ .

Позначення: a A (елемент належить множині A); a A (елемент не належить множині A); — порожня множина, яка не містить жодного елемента.

Дві множини називаються р і в н и м и, якщо вони складаються з тих самих елементів.

Якщо множина B складається з деяких елементів множини A (і тільки з них), то множина B називається п і д-

мн ож ин о ю мн ож ини A.

Позначення: B A .

Пе р е р ізо м мн ож ин A і B називається множина C, яка складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать кожній із даних множин.

Позначення: C = A∩B.

О б’є д нанням (або сумою) двох множин A і B називається така множина C, яка складається з усіх елементів множин A і B, і тільки з них.

Позначення: C = A B.

Різнице ю двох множин A і B називається така множина С, яка складається з усіх елементів множини A, які не належать множині­ B.

Позначення: C = A\B.

На рисунку зображено переріз, об’єднання та різницю двох множин за допомогою діаграм Ейлера — Вена:

202

A\B

У випадку, коли B A , різниця C = A\B називається

до п о вн е нням мн ож ини B щ одо мн ож ини A.

Скінченні множини, для яких установлений порядок елементів, називають у п о ря д ко в аними.

Указати порядок розташування елементів у скінченній множинізnелементівозначаєпоставитиувідповідністькожному елементу множини певне натуральне число від 1 до n.

Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називається ­п е р е с тан о вко ю з n е л е м е н - т ів. Число перестановок з n елементів позначається Pn . Pn = n!(n! =1 2 … n). n! — це добуток усіх натуральних чисел від 1 до n включно.

Розміщ е нням з m е л е м е н т ів п о n називається будь-яка впорядкована множина з n елементів даної множини M, яка містить m елементів, де n m.

Позначення: Amn .

Amn = m(m−1)(m−2)…(m−n+1);

Ко м бінац і є ю з m е л е м е н т ів п о n називається будь-яка підмножина з n елементів даної множини M, яка містить m елементів, де n m.

Позначення: Cmn .

203

КОМбінаторика.початкитеоріїймовірностей.математичнастатистика

Cn = m! . m n!(m −n)!

Властивості числа комбінацій:

1. Cmn =Cmm−n.

2. Cn+1 = m −n Cn .

m n +1 m

3.Cmn +Cmn+1 =Cmn++11 .

4.Cm0 +Cm1 +…+Cmn =2m.

Бі н о м (двочлен) — вираз вигляду x+a.

Ф о р м у л а бін о ма Ньюто на:

(x+a)n =Cn0xn +Cn1axn−1 +…+Cnn−1an−1 x+Cnnan.

Права частина цієї формули називається р озк ла до м бін о ма.

Властивості розкладу бінома Ньютона:

1.Кількість членів розкладу бінома на одиницю більша, ніж показник степеня ­бінома.

2.Усі члени розкладу мають один і той самий степінь n як суму показників степенів x і a.

Кожний рядок цього трикутника — набір біноміальних коефіцієнтів для розкладу відповідного степеня.

204