Приклади розв’язування типових завдань

Складемо пропорцію і знайдемо x.

Відповідь: 60 км/год.

Задачі на пропорційне ділення

Задача 1. Розчин містить 7 частин цукру й 11 частин води. Скільки цукру потрібно взяти, щоб одержати 549 г розчину?

Розв’язання

Нехай маса однієї частини х г. Тоді маса цукру 7х г, а води — 11х г. За умовою задачі маса розчину (11x+7x) г, або 549 г.

Маємо рівняння:

11x+7x = 549,

18x = 549, x = 30,5,

30,5 7 = 213,5.

Відповідь: треба взяти 213,5 г цукру.

Задача 2. Точка А розбиває відрізок СD на частини, дов­ жини яких відносяться як 2:5. Знайти довжину відрізків СА і АD, якщо CD = 14 см.

Розв’язання

Щоб розв’язати таку задачу, треба скори­ ста­ ти­ ся­ коефіцієнтом пропорційності шуканих величин.

Отже, нехай х — коефіцієнт пропорційності­ довжини відрізків. Тоді довжина АС — 2х см, а довжина АD — 5х см. За умовою задачі CD = 14 см.

Отримаємо та розв’яжемо рівняння:

2x+ 5x = 14,

7x = 14, x = 2.

2 2 = 4;  2 5 = 10.

Відповідь: AC = 4 см; AD = 10 см.

45

АРИФМЕТИКА

Задачі на відсотки

Задачі на відсотки — це задачі на пряму пропорційність.

Задача 1. Зі свіжих слив виходить 21 % сушених. Скільки сушених слив можна отримати із 75 кг свіжих?

Розв’язання

Запишемо умову:

↓75 кг — 100 %↓   x кг — 21 %

Складемо пропорцію: 75x = 10021 .

Звідси x = 7510021 =15,75.

Відповідь: 15,75 кг.

Задача 2. Перший тракторист зорав 40 % поля, другий — 35 % поля. Яку площу має поле, якщо перший зорав на 4 га більше, ніж другий?

Розв’язання

1) 40−35 =5 (%) становлять 4 га. Нехай площа всього поля х га.

↓x га — 100%↓ 4 га — 5%

x4 = 1005 , x = 4 1005 = 80.

Відповідь: площа поля 80 га.

Задача 3. Із 40 учасників шахового турніру 9 осіб мають звання гросмейстера. Який відсоток учасників турніру становлять гросмейстери­ ?

Розв’язання

46

Приклади розв’язування типових завдань

x = 9 1005 , 402

x = 22,5.

Відповідь: гросмейстери становлять 22,5 %.

Задачі на спільну роботу

У розв’язанні цих задач велику роль відіграють такі величини: частина всієї роботи, яку виконує робітник (бригада, машина) за одиницю часу; час, який було витрачено на роботу; частина роботи, яку було виконано.

Задача. Одна бригада може виконати певну роботу за 10 днів, друга — за 15 днів. За скільки днів обидві бригади, працюючи разом, виконають цю роботу?

Розв’язання

Перша бригада виконує роботу за 10 днів, тобто за 1 день вона виконує 101 роботи. Друга бригада виконує за

1 день 151 роботи. Це означає, що, працюючи разом, обидві бригади виконають:

101 + 151 = 305 = 16 усієї роботи.

1: 16 = 6 (днів) — за такий час буде виконана вся робота. Відповідь: вся робота буде виконана за 6 днів.

Зверніть увагу: оскільки ми розглядаємо частини роботи, немає сенсу говорити, що всю роботу приймаємо за 1.

Розв’язування задач за допомогою рівнянь

Задача 1. Група туристів за три дні пройшла 74 км. За перший день туристи пройшли на 8,5 км менше, ніж за другий, а за третій — стільки, скільки за другий. Який шлях проходили туристи кожного дня?

Розв’язання

Усі три величини невідомі, але в умові задачі зазначаються співвідношення між ними. Із цього робимо висновок, що задачу зручно розв’язувати за допомогою рівняння.

47

АРИФМЕТИКА

Усі невідомі величини порівнюються зі шляхом, який пройшли туристи за другий день. Отже, робимо висновок, що цю величину зручно позначити буквою й через неї виразити всі інші величини.

Нехай другого дня туристи пройшли х км. Тоді за перший день вони пройшли (x−8,5) км, а за третій — х км.

За умовою задачі за три дні туристи пройшли 74 км, або

((x−8,5) +x+x) км.

Одержимо й розв’яжемо рівняння:

(x−8,5) +x+x =74, 3x−8,5 =74, 3x = 8,5+74, 3x = 82,5,

x = 82,5:3, x =27,5,

27,5−8,5 =19 (км) пройшли туристи за перший день. Відповідь: за перший день туристи пройшли 19 км, за

другий — 27,5 км, за третій — 27,5 км.

Задача 2. В одній шафі було в 6 разів більше книг, ніж у другій. Після того як із однієї шафи взяли 46 книг, а з другої — 18 книг, у першій шафі залишилося на 97 книг більше, ніж у другій. Скільки книг було спочатку в кожній шафі?

Розв’язання

Нехай у другій шафі було х книг. Тоді в першій було 6х книг. Коли взяли книги із шаф, у першій стало (6x−46) книг, а в другій (x−18) книг. Складемо таблицю:

За умовою задачі в першій шафі залишилося на 97 книг більше, ніж у другій.

Одержуємо та розв’язуємо рівняння:

6x−46 = x−18+97, 6x−x = 46+79, 5x =125, x =25,

25 6 =150.

Відповідь: у першій шафі було 150 книг, у другій — 25 книг.

48

Приклади розв’язування типових завдань

Задача 3. Човен пройшов за течією річки 2,4 години, а проти течії — 3,2 години. Шлях, пройдений за течією, виявився на 13,2 кілометра довшим від шляху, пройденого проти течії. Знайдіть швидкість човна в стоячій воді, якщо швидкість течії річки 3,5 км/год.

Розв’язання

Нехай власна швидкість човна х км/год. Тоді за течією човен рухався зі швидкістю (x+3,5) км/год і за 2,4 години пройшов відстань 2,4(x+3,5) км.

Проти течії човен рухався зі швидкістю (x−3,5) км/год і за 3,2 години пройшов відстань 3,2(x−3,5) км.

Складемо таблицю:

За умовою задачі шлях, пройдений за течією, виявився на 13,2 км довшим від шляху, пройденого проти течії.

Складемо й розв’яжемо рівняння:

2,4(x+3,5) −3,2(x−3,5) =13,2, 2,4x+8,4−3,2x+11,2 =13,2, 0,8x =6,4, x = 8.

Відповідь: власна швидкість човна 8 км/год.

49