Координати та вектори. Вектори на площині

y

y Aα (x; y)

При такому означенні: sin90°=1; sin180° = 0; cos90°= 0; cos180° = −1; tg90° не існує; tg180°= 0; ctg90°= 0;ctg180° не існує.

Вектори на площині

В е к т о р о м називається напрямлений відрізок. На рисунку зображений вектор,

який можна позначити AB або a.

B

a

A

Вектори AB і CD називаються о д н а к о в о н а п р я м ­ л е н и м и, якщо однаково напрямлені півпрямі AB і CD.

Вектори AB і CD називаються п р о т и л е ж н о н а ­ п р я м л е н и м и, якщо протилежно напрямлені півпрямі

AB і CD.

355

Геометрія

Аб с о л ю т н о ю в е л и ч и н о ю (або м о д у л е м) векто-

ра, називається довжина відрізка, що зображує вектор.

Позначення: AB або a .

Вектор називається н у л ь о в и м, якщо початок вектора збігається з його кінцем.

Позначення: 0 .

Нульовому вектору не приписують ніякого напряму:

0 = 0.

Два вектори називаються р і в н и м и, якщо вони сумі-

м и, якщо вони лежать на одній прямий або на паралельних прямих. Колінеарні вектори або однаково напрямлені, або протилежно напрямлені.

Позначення: a b .

Теорема. Нехай a — вектор і A — довільна точка. Тоді від точки А можна відкласти один і тільки один вектор a′, що дорівнює вектору a.

Позначення: a(a1 ; a2 ) або (a1 ; a2 ). O(0; 0).

Додавання векторів має переставну та сполучну властивості:

356

Координати та вектори. Вектори на площині

a +b = b +a;

(a +b )+c = a +(b +c)

для будь-яких a, b , c .

Теорема. Які б не були точки A, B, C, справджується векторна рівність:

AB+BC = AC.

Правило трикутника додавання векторів

Щоб знайти суму довільних векторів a і b , треба від кінця вектора a (див. рисунок) відкласти вектор b′, що дорівнює вектору b . Тоді вектор, початок якого збігається з початком вектора a, а кінець — з кінцем вектора b′, буде сумою векторів a і b .

b a b′

a + b

Правило паралелограма

Для векторів із спільним початком їх сума зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах, яка виходить з їх спільного початку (див. рисунок).

Якщо треба знайти суму кількох векторів, можна скористатися правилом многокутника (див. рисунок).

357

Геометрія

d e

a b c

f a+ b + c + d + e + f

Рі з н и ц е ю в е к т о р і в a(a1 ; a2 ) і b (b1 ; b2 ) називаєть-

ся такий вектор c , який у сумі з вектором b дає вектор a : a(a1 ; a2 ) −b(b1 ; b2 ) = c (a1 −b1 ; a2 −b2 ).

Теорема. Для векторів AB і AC із спільним початком

AC− AB = BC.

Щоб знайти різницю векторів a і b , треба від однієї точки відкласти вектори a′ і b′, що дорівнюють їм (див. рисунок). Тоді вектор, початок якого збігається з кінцем вектора b′, а кінець — з кінцем a′ , буде різницею a і b .

Тобто, якщо вектори a і b мають спільний початок, вектор a −b іде з кінця від’ємника в кінець зменшуваного.

Множення вектора на число

Добу тком век тора (a1 ; a2 ) на чис ло η називаєть-

ся вектор (ηa1 ; ηa2 ), тобто (a1 ; a2 ) η = (ηa1 ; ηa2 ). Для будьякого вектора a і чисел η і

358