Системи рівнянь
Розв’язування систем рівнянь другого степеня
1. Щоб розв’язати систему рівнянь графічним способом, треба побудувати в одній системі координат графіки обох рівнянь системи й знайти координати точок перетину графіків. Ці координати будуть розв’язками системи рівнянь. Наприклад:
x2 +y2 =25,
y = −x2 +2x+5.
Графіком першого рівняння є коло з центром в точці O(0; 0) і радіусом 5 одиничних відрізків (див. рисунок нижче).
Графік другого рівняння — парабола, вітки якої напрямлені вниз (див. рисунок нижче ).
x = |
−2 |
=1, y = y(1) = −1+2+5 =6, |
|||||||
|
|||||||||
в |
|
|
−2 |
в |
|
|
|
|
|
y(0) =5, |
|
x |
|
−2x−5 = 0 |
|
||||
−x |
2 |
+2x+5 = 0 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
, |
|
|
, |
||
x1,2 =1± |
6 . |
|
|
|
|
||||
Точки перетину з осями координат: (0; 5); (1+ 6 ; 0); |
|||||||||
(1− 6 ; 0). |
|
|
|
|
|
||||
Система |
має |
чотири розв’язки: (≈ −2,2; ≈ −4,5) ; |
|||||||
(≈2,2; ≈ 4,5); (≈ 0; ≈5); |
(≈ 4; ≈ −3). |
||||||||
Перевірка показує, що третій і четвертий розв’язки точ-
ні, а не наближені.
y 
6
5
-2,2 |
O |
1 |
2,2 |
4 |
x |
|
-3 |
|
|
|
|
|
-4,5 |
|
|
|
|
Відповідь: (0; 5); (4; –3); (≈ −2,2; ≈ −4,5) ; (≈2,2; ≈ 4,5).
161
Алгебра та елементарні функції
2. Системи рівнянь, у яких одне рівняння першого степеня, а друге — другого, зручно розв’язувати способом підстановки. Наприклад:
|
|
|
2 |
= 2, |
|
|
|
|
|
x− 2y |
|
|
|
|
|
|
|||
3x+ y = 7; |
|
|
|
|
|||||
|
= 2y |
2 |
+ 2, |
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6y2 + y−1= 0; |
|
|
|
|
|||||
x |
= |
−1± 1+ 24 |
, y = |
1 |
; |
y |
|||
1,2 |
|
|
|
|
12 |
1 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = 2+ 2y2 ,
6+ 6y2 + y = 7;
6y2 + y−1= 0,
= − 1 ,
2
|
|
|
|
|
2 |
+ 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = 2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
, |
x = 2 |
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
2 |
|||||||||||||||
y |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
; |
|
|
y = − |
|
|
. |
|||||
|
y |
= − |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Відповідь: |
2 |
2 |
; |
1 |
|
; |
2 |
1 |
; − |
1 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
3. Можна використовувати також спосіб додавання або комбінацію двох способів.
Приклади
|
|
|
− |
y |
= |
3, |
2x− y = 3, |
|
1) |
2x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 − 4xy+ y2 = 2x+ 2y; |
(2x− y)2 = 2x+ 2y; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x− y = 3, |
y = 2x− 3, |
||||||
|
|
= 2x+ 2y; |
|
= 2x+ 4x− 6; |
||||
|
9 |
9 |
||||||
|
6x = 15, |
x = 2,5, |
||||||
|
|
= 2x− 3; |
|
= 2. |
||||
|
y |
y |
||||||
Відповідь: (2,5; 2).
162
Системи рівнянь
|
2 |
+ |
|
1 |
= 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нехай |
|
= a; |
|
|
1 |
= b. |
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
− |
|
3 |
= 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Отримаємо |
2a+ b = 4, |
|
a = 9+ 3b, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a− 3b = 9; |
|
18+ 6b+ b = 4; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= 3, |
|
|
|
|
x |
= |
1 |
|
, |
|
|
a = 9+ 3b, |
|
|
a = 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
7b = −14; |
|
|
b = −2; |
|
|
|
1 |
|
= −2; |
|
|
|
|
|
= − |
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Відповідь: |
1 |
; − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+12xy+ 36y |
2 |
= 64, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= 64, |
|
|
|
|
||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
(x+ 6y) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
− 6y = 6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x− 6y |
= 6; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x+ 6y = 8, |
|
|
|
|
|
|
|
x− 6y = 6; |
|
|
|
x+ 6y = −8, |
|
|
|
|
|
|
|
x− 6y = 6; |
|
|
|
Відповідь: |
7; |
1 |
; |
|
|
6 |
|
2x = 14,
12y = 2;
2x = −2,= −
12y 14;
|
|
|
1 |
|
|
|
−1; |
−1 |
|
. |
|
6 |
|||||
|
|
|
|
x = 7,
y = 1 ;6
x = −1,
y = −1 1 .6
Приклади розв’язування систем тригонометричних рівнянь
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
x− y = |
, |
|
|
y = x− |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
π |
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||
|
cosx+ cosy = |
|
; |
cosx+ cos x− |
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
163
Алгебра та елементарні функції
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x− |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2cos x− |
|
|
cos |
|
|
= |
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x− |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||
cos x− |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x− |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
π |
|
3 |
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||
|
|
|
|
cos |
x− |
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x− |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x− |
|
|
|
= ± |
|
|
+ 2πn, n Z; |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||
y = x− |
π |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
= x− |
|
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = |
|
|
+ 2πn, n Z, |
|
|
x = 2πn, n Z; |
|||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2πn, n Z, |
||||||
x = |
+ 2πn, n Z, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = − |
|
|
+ πn, n Z. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y = 2πn, n Z, |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||
Відповідь: |
|
π |
+ |
2 |
π |
|
|
π |
, |
n Z; |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n; 2 |
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
− π + |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
, n Z. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 n; |
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
sinxsiny = |
, |
||||||
|
|
||||||
|
|
4 |
|
|
|
||
2) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
|
||
cosxcosy = |
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
||||
|
|
4 |
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
||
cos(x− y) = |
|
, |
|||||
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(x+ y) = 0; |
|
|
|
||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
x− y = |
|
|
+ 2πn, n Z, |
||||
6 |
|
||||||
а) |
|
|
|
|
|
||
π |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
x+ y = |
|
|
+ πk, k Z; |
||||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||
sinxsiny+ cosxcosy = |
, |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cosxcosy− sinxsiny = 0; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||
x− y |
= ± |
|
|
|
+ 2πn, |
n Z, |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x+ y |
= |
|
|
|
+ πk, k Z. |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||
x = |
|
|
+ πn+ |
|
k, |
n,k Z, |
||||||||||
3 |
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y = |
|
|
+ |
|
|
|
|
k− πn, |
n,k Z; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
164