=−2sin2 x+ π відповідно дорівнюватимуть 2 і –2;

3

5)синусоїда y = −sinx симетрична синусоїді y = sinx відносно осі Оx.

тиме значення 0; –2; 0; –2; 0... і т. д.

Аналогічно можна міркувати, якщо треба побудувати графіки функцій:

y= A cos(kx + b);

y= A tg(kx + b);

y= A ctg(kx + b).

Величини,якізмінюютьсязазаконом f(t) = Acos(ωt+ϕ) або f(t) = Asin(ωt+ϕ), називаються г ар м о нічними ко ­ лив аннями.

При цьому A — амплітуда коливань; ω — циклічна частота коливань; ϕ — початкова фаза коливань.

Поняття про обернену функцію

Функція, яка приймає кожне своє значення в єдиній точці області визначення, є о б о р­ от н о ю.

У такої функції за значенням залежної змінної можна однозначно визначити, якому значенню аргументу воно відповідає.

Інакше кажучи, якщо функція y = f(x) є оборотною й число а належить до її області значень E(f), то рівняння f(x) = a має розв’язок, причому єдиний.

О б е р н е н о ю до даної оборотної функції y = f(x) називається така функція x = g(y), яка кожному із множини

115

Алгебра та елементарні функції

значень функції y = f(x) ставить у відповідність єдине число x з області визначення.

Якщо аргумент і функцію в записі x = ϕ(y) позначити звичайним способом, отримаємо y = ϕ(x).

Графік функції g, оберненої до функції f, симетричний графіку f відносно прямої y = x.

Якщо функція f зростає (або спадає) на проміжку I, то вона є оборотною. Обернена до f функція g, яка визначена в області значень f, теж є зростаючою (або спадною).

g(x) = x .

На рисунку зображені функція x2 і обернена до неї функція x :

Зверніть увагу: у деяких випадках не можна назвати

точного значення arcsina. Наприклад, arcsin 1 = π , але для

2 6

arcsin 1 можемо знайти тільки наближене значення.

5

116

3) функція непарна, бо [−1; 1] — симетрична відносно 0; arcsin(−x) = −arcsinx.

Отже, графік y = arcsinx симетричний відносно початку координат;

4)функція не є періодичною;

5)arcsin0 = 0;

6)функція зростаюча;

7)arcsinx > 0 при x (0; 1] , arcsinx < 0 при x [−1; 0) ;

8)найбільше значення — π ,якщо x =1,найменше — − π ,

Графік функції y = arcsinx зображений на рисунку:

Зверніть увагу на рівності:

Зверніть увагу: arcsin(−x) = −arcsinx.

117

Алгебра та елементарні функції

3. y = arccos x — функція, обернена до y = cosx, якщо

x [0; π].

Запис b = arccosa означає, що b [0; π];  cosb = a.

Властивості функції y = arccos x:

1)D(y) =[−1; 1];

2)E(y) =[0; π];

3)функція не є ні парною, ні непарною;

4)функція не є періодичною;

5)arccos0 = π , arccos1= 0;

2

6)функція спадна;

7)arccos x 0 на всій області визначення­ ;

8)найбільше значення — π, якщо x = −1, найменше — 0, якщо x =1.

Графік функції y = arccosx зображений на рисунку:

118

Тригонометричні функції

Властивості функції y = arctg x: 1) D(y) = (−∞; +∞);

2)E(y) = − π ; π ;

2 2

3)функціянепарна. D(y) симетричнавідносно0, arctg(−a) =

=−arctga.

Графік симетричний відносно початку координат;

4)функція не є періодичною;

5)y(0) = 0;

6)функція зростаюча;

7)arctgx > 0, якщо x > 0, arctgx < 0, якщо x < 0;

8)функція не набуває найбільшого і найменшого значень. tg(arctgx) = x, якщо x (−∞; +∞);

119

Алгебра та елементарні функції

5. y = arcctg x — функція, обернена до y = ctg x, якщо

x (0; π).

Запис b = arcctg a означає, що b (0; π); ctgb = a.

Властивості функції y = arcctg x:

1)D(y) = (−∞; +∞);

2)E(y) = (0; π);

3)функція не є ні парною, ні непарною;

4)функція не є періодичною;

5)arcctg 0 = π ,

2

arcctg x ≠ 0 при жодному значенні х;

6)функція спадна;

7)додатна на всій області визначень;

8)функція не набуває найбільшого і найменшого значень. Графік функції y = arcctgx зображений на рисунку:

ctg(arcctgx) = x, −∞ < x < +∞, arcctg(ctgx) = x, 0 < x < π,

arcctg(−x) = π−arctgx, −∞ < x <∞.

120