Раціональні вирази
2)a2 −2ab+b2 −25 = (a2 −2ab+b2 )−25 =
=(a−b)2 −25 = (a−b−5)(a−b+5);
3)a+5b+a2 −25b2 = (a+5b) +(a−5b)(a+5b) =
=(a+5b)(1+a−5b);
4)x2 −y2 −6x+9 = (x2 −6x+9)−y2 =
=(x−3)2 −y2 = (x−3−y)(x−3+y).
Раціональні вирази
Др о б о вим вир азо м називають частку від ділення двох виразів, записану за допомогою дробової риски. Як і інші вирази, дроби бувають числові та зі змінними.
Вираз, складений із чисел і змінних за допомогою дій додавання, віднімання, множення, ділення й піднесення до степеня, називається р ац іо на льним.
Ті значення змінних, для яких можна знайти відповідне значення виразу, називаються до п ус т имими.
Приклади
1)xx +−35 ; х — будь-яке число, крім x = −5.
2)x23x+ 4 ; х — будь-яке число.
3) |
2 |
|
|
; x ≠ 0; x ≠ −1. |
|
1 |
|
||
1+ |
|
|
||
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
Два вирази, відповідні числові значення яких рівні при всіх допустимих значеннях змінних, називаються тотож н о р івними або тотож ними.
Основна властивість дробу. Скорочення дробів
Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на один і той самий вираз, то дістанемо дріб, який
65
Алгебра та елементарні функції
тотожно дорівнює даному. Це дозволяє скорочувати дроби й приводити їх до нового знаменника.
Приклади
1) |
a2 −9 |
= |
(a −3)(a +3) |
= |
a −3 |
. |
ab +3b |
b(a +3) |
b |
Зверніть увагу: щоб скоротити дріб, його чисельник і знаменник треба розкласти на множники.
2) Зведіть дріб |
|
a +3 |
|
|
до знаменника 2(a2 −9). |
||||||||||||||||||||||
6 −2a |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6−2a =2(3−a) = −2(a−3), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2(a2 −9) =2(a−3)(a+3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Із |
цього |
|
видно, |
що |
додатковий |
множник дорівнює |
|||||||||||||||||||||
2(a −3)(a +3) |
|
= −(a+3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
−2(a −3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отже, маємо: |
|
|
|
|
−(a +3)2 |
|
|
|
|
|
−(a +3)2 |
|
|||||||||||||||
|
a +3 |
= |
|
|
a +3 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|||||||||||
|
6 −2a |
|
−2(a − |
3) |
|
2(a −3)(a +3) |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(a −9) |
|
||||||||||||||||
Зверніть увагу на тотожності: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
a |
= |
−a |
|
; |
|
−a |
|
= − |
a |
; |
−a |
= |
|
a |
. |
|
|
|||||||||
|
b |
|
−b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
b |
−b |
|
|
|
|||||||||
Додавання та віднімання дробів
1. Щоб додати (відняти) дроби з однаковими знаменниками, треба додати (відняти) їхні чисельники, а знаменник залишити той самий. Наприклад:
1)3a −7b + 2a +2b = 3a −7b +2a +2b = 15ab 15ab 15ab
|
= |
5a −5b |
|
|
= |
|
|
5(a −b) |
|
= |
a −b |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
15ab |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
15ab |
|
|
|
|
|
|
|
3ab |
|
||||||||||
|
2 |
−3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2x −1 |
|
|
|
|
|||||||||
2) |
|
x |
|
+ |
|
|
− |
|
|
= |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
x |
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
+2x |
|
|
+2x |
|
|
x +2x |
|
||||||||||||||
|
= |
|
x2 −3 +2 −(2x −1) |
|
= |
|
x2 |
−1−2x +1 |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
x2 +2x |
|
|
|
|
|
x2 +2x |
||||||||||||||
|
= |
|
x2 −2x |
= |
x (x −2) |
|
= |
x −2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||
|
x2 +2x |
x (x +2) |
|
x +2 |
|
|||||||||||||||||||
66
Раціональні вирази
2. Якщо треба знайти суму або різницю дробів з різними знаменниками, то спочатку дроби зводять до спільного знаменника.
Приклади
1)x2 + x3 = 3x6+2y ; спільний знаменник — НСК (2; 3).
2)xy + xy = x2xy+ y2 ; спільний знаменник — добуток знамен-
ників.
3) |
2x |
+ |
x2 |
= |
4xy +3x2 |
. |
|
2 |
2 |
||||
|
3y |
2y |
|
6y |
||
Якщо до складу знаменника першого дробу входить y, а до другого — y2, то до спільного знаменника увійде y2.
4) |
|
|
m |
− |
|
|
n |
= |
|
|
m(m + n) −n(m −n) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
m −n |
|
m + n |
|
|
|
|
|
|
(m + n)(m −n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
m2 |
+ mn −nm + n2 |
|
= |
m2 + n2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m2 −n2 |
|
|
|
|
|
|
|
m2 −n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
11a |
|
||||||||||||
5) |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||
|
5x −10 |
6x −12 |
5(x −2) |
|
|
6(x −2) |
30(x −2) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6) m−n+ |
|
|
|
n2 |
|
= |
m−n |
+ |
n2 |
|
|
= |
m2 −n2 +n2 |
= |
|
m2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
m + n |
|
|
|
|
|
m + n |
|
|
|
|
|
|
|
m + n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m + n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7) |
|
|
2a + b |
|
|
|
− |
|
16a |
|
|
− |
|
|
2a−b |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2a2 − ab |
|
4a2 −b2 |
|
2a2 + ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
2a + b |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
16a |
|
|
|
− |
|
2a−b |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
a(2a −b) |
|
(2a −b)(2a + b) |
a(2a + b) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= (2a + b)2 −16a2 −(2a −b)2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a(2a + b)(2a −b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
= 4a2 + 4ab + b2 −16a2 −4a2 + 4ab −b2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(2a + b)(2a −b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
= |
8ab −16a2 |
|
= |
|
|
|
|
8a(b −2a) |
|
= |
− |
|
8 |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a(2a + b)(2a −b) |
a(2a + b)(2a −b) |
|
|
2a + b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
67
Алгебра та елементарні функції
8) |
|
|
3 |
|
+ |
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(a +3)3(b −1) |
|
(a +3)2(b −1)2 |
|||||||
|
= |
3b −3 +2a +6 |
|
= |
3b +2a +3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
3 |
2 |
|
3 |
2 |
|||||
|
|
|
(a +3) (b − |
1) |
|
|
(a +3) (b −1) |
|||
|
Множення, ділення й піднесення до степеня дробів |
|||||||||
|
Що б п о мн ож и т и |
д р іб на д р іб, треба пере- |
||||||||
множити окремо їхні чисельники й окремо знаменники і перший добуток записати чисельником, а другий — знаменником дробу.
Що б пі д н е с т и д р іб до с т е п е ня, треба піднести до цього степеня чисельник та знаменник і перший результат записати чисельником, а другий — знаменником дробу.
Дріб |
b |
називається оберненим до |
a |
. |
a |
|
|||
|
|
b |
||
Що б п оді ли т и один д р іб на д руг ий, треба перший дріб помножити на дріб, обернений до другого.
Зверніть увагу: виконуючи множення, ділення, піднесення до степеня дробів, доцільно чисельник і знаменник дробу розкласти на множники. Це дає можливість скоротити дріб.
Приклади
1) |
|
|
|
ax + ay |
|
|
|
|
|
x2 − xy |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
2 |
|
|
|
2 |
|
7x +7y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
−2xy + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
|
a(x + y) x(x − y) |
= |
|
|
|
|
ax |
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
(x − y)2 7(x + y) |
|
|
7(x − y) |
|
|
||||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
2ab |
|
|
|
|
(a2 |
−9b2 ) = |
|
|
|||||||||||||||
|
a |
2 |
−6ab + |
9b |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
2ab (a −3b)(a +3b) |
|
= |
|
2ab(a +3b) |
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
(a −3b)2 |
|
|
|
|
|
a −3b |
||||||||||||||||||
|
|
ap |
2 |
|
|
|
p +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) |
−9a |
: |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
p |
−8 |
|
2p −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
|
|
a( p −3)( p +3) 2( p−2) |
= |
2a( p −3) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
( p −2)( p2 +2p + 4)( p +3) |
p2 +2p + 4 |
||||||||||||||||||||||||
68