Геометрія

Очевидно, що при обертанні AB навколо l дістанемо бічну поверхню прямого кругового циліндра, у якого AB — твірна, вісь — пряма l, радіус основи — AA1 .

l l

A A A1

3.Відрізок обертається навколо осі (див. рисунок), він не є їй паралельним і лежить з нею в одній площині, не перетинаючи осі.

Нехай точки A1 і B1 — проекції точок A і B на вісь l відповідно.

l

A A1

B B1

При обертанні AB навколо l дістанемо бічну поверхню зрізаного конуса, у якого AB — твірна, A1 — центр верхньої основи, B1 — центр нижньої основи, AA1 — радіус верхньої основи, BB1 — радіус нижньої основи.

Якщо навколо осі обертається який-небудь многокутник, треба спроектувати на вісь обертання всі вершини многокутника і з’ясувати, які фігури утворюють усі його сторони при обертанні.

Комбінації геометричних тіл

Циліндр, вписаний у кулю

Основи циліндра є рівновіддаленими від центра кулі (рисунок нижче зліва).

344

Стереометрія. Комбінації геометричних тіл

Ця комбінація тіл є симетричною відносно будь-якої площини, що проходить через центр кулі паралельно твірним циліндра.

У перерізі тіла такою площиною дістанемо прямокутник і описане навколо нього коло (рисунок справа). Прямокутник ABCD — осьовий переріз циліндра, а описане коло — велике коло даної кулі. Отже, діагональ AC є діамет­ ром описаної кулі.

B C

O

A D

Циліндр, описаний навколо кулі

Площина, проведена через центр кулі паралельно твірним циліндра (див. рисунок), є площиною симетрії тіла. У цьому випадку висота циліндра дорівнює діаметру кулі.

O

В осьовому перерізі цього тіла отримаємо прямокутник, у який вписане коло (див. рисунок). Але із цього випливає, що осьовий переріз даного циліндра — квадрат. Отже, діаметр циліндра дорівнює діаметру кулі.

O

345

Геометрія

Конус, вписаний у кулю

Вершина конуса лежить на сфері (рисунок нижче зліва). Основа конуса лежить на сфері. Комбінація є симетричною відносно площини, що містить вісь конуса. У такому перерізі дістанемо трикутник, вписаний у коло (рисунок справа).

S

A B

Трикутник рівнобедрений. Бічні сторони — твірні конуса, коло — велике коло описаної кулі. Отже, радіус кулі дорівнює радіусу кола, описаного навколо осьового перерізу конуса.

Куля, вписана в конус

Площина, яка містить вісь конуса, є площиною симетрії (рисунок нижче зліва). Осьовий переріз комбінації є рівнобедреним трикутником, у який вписане коло (рисунок справа). Трикутник — це осьовий переріз конуса, тобто SA = SB — твірні конуса, AB — діаметр основи конуса, а коло — велике коло вписаної кулі. Отже, радіус кулі дорівнює радіусу кола, вписаного в ASB.

S

нижче), коли основа конуса збігається з нижньою основою

346

Стереометрія. Комбінації геометричних тіл

циліндра, а вершина конуса — центр верхньої основи циліндра. Осі циліндра і конуса в цьому випадку збігаються.

Ц и л і н д р в п и с а н и й у к о н у с (див. рисунок ниж-

че), якщо нижня основа циліндра лежить на основі конуса, осі конуса та циліндра збігаються, верхня основа циліндра збігається з перерізом конуса площиною, паралельною основі, на відстані, яка дорівнює висоті циліндра, від основи.

П р и з м о ю, в п и с а н о ю в ц и л і н д р (див. рису-

нок нижче), називається така призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічними ребрами — твірні циліндра. Отже, висоти призми й циліндра збігаються, а основи призми є вписаними многокутниками для основ циліндра.

347

Геометрія

Д о т и ч н о ю п л о щ и н о ю ц и л і н д р а називається площина, яка проходить через твірну циліндра й перпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю твірну.

П р и з м о ю, о п и с а н о ю н а в к о л о ц и л і н д р а (див.

рисунок нижче), називається призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічні грані дотикаються до циліндра.

У цьому випадку основи призми є описаними многокутниками навколо основ циліндра, а висоти циліндра й призми збігаються.

Випадки «призма, вписана в конус», «призма, описана навколо конуса» аналогічні комбінаціям «конус — циліндр». Їм же аналогічні комбінації «циліндр — піраміда».

П і р а м і д о ю, в п и с а н о ю в к о н у с, називається та-

ка піраміда, основою якої є многокутник, вписаний в коло основи конуса, а вершиною — вершина конуса. Бічні ребра

щина, яка проходить через твірну конуса й перпендикулярна до площини осьового перерізу, проведеного через цю твірну.

П і р а м і д о ю, о п и с а н о ю н а в к о л о к о н у с а (див.

рисунок нижче), називається піраміда, в основі якої лежить многокутник, описаний навколо основи конуса, а вершина збігається з вершиною конуса.

Площини бічних граней описаної піраміди є дотичними площинами конуса.

348