планіметрія. Доведення від супротивного

2)Для того щоб прямі були паралельними, необхідно й достатньо, щоб внутрішні різносторонні кути були рів­

ними.

Треба розуміти, що твердження «для того щоб прямі були паралельними, необхідно, щоб внутрішні різносторонні кути були рівними» означає властивість паралельних прямих­ .

Твердження «для того щоб прямі були паралельними, достатньо, щоб внутрішні різносторонні кути були рівними» означає ознаку паралельних прямих.

Доведення від супротивного

Цей спосіб доведення складається з таких етапів.

1.Припускають протилежне тому, що стверджується теоремою.

2.На основі припущення, спираючись на аксіоми і вже доведені теореми, роблять висновки.

3.Знаходять, у чому цей висновок суперечить умові, якійсь аксіомі або доведеній раніше теоремі.

4.Роблять висновок, що зроблене припущення неправильне, а тому правильне твердження­ теореми.

Особливо часто використовують цей спосіб доведення, ко-

ли треба довести єдиність якого-небудь об’єкта. (Припускають протилежне, тобто що таких об’єктів хоча б два.)

Приклад. Довести, що в трикутнику може бути тільки один тупий кут.

Доведення:

1)Припустимо, що в трикутнику є два тупих кути.

2)Тоді сума кутів трикутника більша за 180°, тому що міра тупого кута більша за 90°.

3)Зроблений висновок суперечить теоремі про суму кутів трикутника.

231

Геометрія

4)Отже, наше припущення неправильне, а правильне те, що треба було довести.

Приклади розв’язування типових задач

Треба добре розуміти: коли ми доводимо теоре­ му­ або розв’язуємо задачу, кожне твердження треба обґрунтувати, тобто показати, що воно випливає з якої-небудь аксіоми чи раніше доведеної теореми. Якщо ви спираєтеся на якусь теорему, ретельно перевірте, чи повністю виконано її умову. Наприклад, при застосуванні першої ознаки рівності трикутників перевірте, чи дійсно даний кут лежить між даними сторонами, і т. д. Не можна у своїх міркуваннях спиратися тільки на рисунок, проте грамотно виконаний рисунок сприяє розв’язанню задачі. Також корисним є чіткий запис умови і того, що треба знайти або довести­ .

Задача на ознаки рівності трикутників

Задача. На рисунку AC = CD; MAF =TDK.

Довести, що ABC = DEC.

B

M A C E

F D

TK

Доведення:

(Зверніть увагу: дані кути ( MAF =TDK) не є кутами трикутників, що розглядаються.)

232

планіметрія. Приклади розв’язування типових задач

1)BAC =CDE як вертикальні з рівними кутами ( MAF і TDK відповідно).

2)Розглянемо ABC і DEC.

BAC =CDE за доведеним;

BCA =DCE як вертикальні; AC = CD за умовою.

Отже, ABC = DEC за стороною й двома прилеглими до неї кутами.

Задача на рівнобедрений трикутник

Задача. На рисунку AD = FC; MAB =NCB. Довести, що DBF — рівнобедрений­ .

B

M N

Доведення:

1)BAD =BCF як суміжні з рівними між собою кутами

MAB і NCB.

2)Розглянемо ABC: BAC =BCA , отже, AB = BC за ознакою рівнобедреного трикутника.

3) Розглянемо ABD і CBF: AD = CF за умовою;BAD =BCF за доведеним; AB = BC за доведеним. Отже, ABD = CBF за першою ознакою рівності три-

кутників (за двома сторонами та кутом між ними).

4) BD = BF як відповідні елементи рівних трикутників. Отже, DBF — рівнобедрений трикутник за означен-

ням.

Задача на паралельність прямих

Задача. На рисунку 1=2 = 140°; 4 = 120°. Знайти: 3.

233

Геометрія

d

c

13

b2

Розв’язання

1)1=2, отже, a b за ознакою паралельних прямих, оскільки 1 і 2 є зовнішніми­ різносторонніми при прямих a, b і січній c.

2)3 і 4 є внутрішніми односторонніми при a b і січній d. Отже, 3+4 = 180° за властивістю паралельних прямих. Отже, 3 = 60°.

Задача на суму кутів трикутника

Задача. Один із кутів трикутника дорівнює 100°.Висота та бісектриса, проведені з вершини цього кута, утворюють кут 20°. Знайдіть невідомі кути трикутника.

Розв’язання.

Нехай у трикутнику ABC ABC = 100°; BN — висота (BN AC); BL — бісектриса ABC; NBL = 20° (див. рисунок).

Знайти: BAC, BCA.

B

A N L C

234

планіметрія. Приклади розв’язування типових задач

1) BL — бісектриса ABC за умовою. Отже,

LBA = LBC =50°.

2)ABN = ABL− NBL =30° за аксіомою вимірювання кутів.

3)Розглянемо ABN: ANB = 90° за умовою; ABN =30° за доведеним; BAC = BAN = 90°−30° =60° за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника­ .

4)Розглянемо ABC: ABC =100° за умовою; BAC =60° за доведеним; BCA =180°−(100°+60°) =20° за теоремою про суму кутів трикутника.

Відповідь: 60°; 20°.

Задача на коло

Задача. На рисунку пряма a дотикається до кола в точці B. Знайти AOB, якщо ABC =63°.

a

Розв’язання

1)OB — радіус, проведений у точку дотику. Отже, за означенням дотичної: CBO = 90°.

2)ABO = 90°−63° =27° за аксіомою вимірювання кутів.

3)Розглянемо AOB: AOB рівнобедрений­ , бо AO = BO якрадіусиодногокола;цеозначає,що ABO = BAO =27° як кути при основі рівнобедреного трикутника.

4)AOB =180°−27° 2 =180°−54°=126° за теоремою про суму кутів трикутника.

Відповідь: 126°.

235

Геометрія

Додаткова побудова

У багатьох задачах для успішного розв’язання треба ввести деякий елемент, якого не було в умові, — зробити додаткову побудову­ .

Задача 1. На рисунку DM = DE; FM = FE. Довести, що DMF =DEF .

Доведення:

1) Додаткова побудова: DF.

D

ME

2)Розглянемо DMF і DEF:DM = DE за умовою; MF = = EF за умовою; DF — спільна. Отже, DMF = DEF за трьома сторонами.

3)DMF =DEF як відповідні елементи в рівних трикутниках.

Дуже корисною є додаткова побудова в багатьох задачах, пов’язаних із поняттям медіани трикутника.

Задача 2. Доведіть, що трикутник рівнобедрений, якщо у нього бісектриса є медіаною.

Доведення:

Нехай у трикутнику ABC BD — бісектриса ABC; BD — медіана (див. рисунок).

Довести, що AB = BC.

236

планіметрія. Приклади розв’язування типових задач

B

A D C

F

1)Додаткова побудова: продовжимо медіану BD на відрізок такої ж довжини — DF і з’єднаємо точку F з точкою C.

(Зверніть увагу: це стандартна додаткова побудова у задачах на медіану.)

ADB =CDF як вертикальні; BD = FD за побудовою; Отже, ABD = CFD за першою ознакою.

3)DFC = ABD; CF = AB як відповідні елементи в рівних трикутниках.

4)Розглянемо BCF: CBD = ABD за умовою (BD — бісектриса); CBF =CFB, отже, BC = FC за ознакою рівнобедреного трикутника.

5)CF = AB; CF = BC, отже, BC = AB, що й треба було до­ вести.

Задача 3. Висота і медіана, які проведені з однієї вер-

шини трикутника, поділяють його кут на три рівні частини. Знайдіть кути трикутника.

Розв’язання

Нехай у ABC (див. рисунок) AD BC; BO = OC.

BAD =DAO =OAC. Знайти: ABC; BAC; BCA.

237