Нерівності

Відповідь:

Нерівності

Число а вважається більшим від b, якщо різниця a−b — число додатне. Число a менше від b, якщо різниця a−b — число від’ємне. Якщо a−b = 0, то числа a і b рівні.

На координатній прямій меншому числу відповідає точка, що лежить ліворуч від точки, яка відповідає більшому числу.

Позначення:  a < b — a менше від b; a > b — a більше від b;

a b — a менше або дорівнює b (не більше); a b — a більше або дорівнює b (не менше).

Зверніть увагу:  3 7 — правильно; 3 3 — правильно; 3 3 — правильно.

Два вирази, сполучені знаком нерівності, утворюють

н е р і в н і с т ь.

Якщо обидві частини нерівності — числа, її називають

чи с л о во ю н е р івніс т ю.

Нерівність зі змінними при одних значеннях змінних може бути правильною, а при інших — неправильною. Наприклад, 3x−1>18 — правильна нерівність при x =7 і неправильна нерівність при x =3.

165

Алгебра та елементарні функції

Властивості числових нерівностей

a, b, с, d — довільні числа.

1.Якщо a < b і b < c, то a < c.

2.Якщо до обох частин правильної нерівності додати одне й те саме число, то дістанемо правильну нерівність.

3.Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне й те саме додатне число, то дістанемо правильну нерівність. Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне й те саме від’ємне число й змінити знак нерівності на протилежний, то дістанемо правильну нерівність.

6.Нерівності з однаковими знаками, у яких ліві й праві частини — додатні числа, можна почленно перемножу-

вати. Наприклад, якщо a, b, с, d — додатні й a < b, c < d, то ac < bd. Із цього випливає, що коли b > a > 0, n N, то an < bn.

Приклади

Відомо, що 6 < x <7, 10 < y <12. Викори­ сто­ ву­ ючи­ властивості числових нерівностей, з’ясуйте, яких значень можуть набувати наведені вирази.

а) 3x−5.

6 < x <7 (за умовою),

18 <3x <21,  13 <3x−5 <16;

б) y2 .

10 < y <12 (за умовою),

100 < y2 < 144;

в) x+y.

6 < x <7,  10 < y <12 (за умовою),

16 < x+y <19;

г) y−x.

Якщо 6 < x <7 (за умовою), то −7 < −x < −6, 10 < y <12 (за умовою),

−7 < −x < −6,  3< y−x <6;

166

Нерівності

д) xy.

6 < x < 7, 10 < y < 12 (за умовою),

60 < xy < 84;

е) y .

x

Якщо 6 < x < 7 (за умовою), то 1 < 1 < 1 ,

7 x 6

10 < y < 12 (за умовою), 1 3 < y <2.

7x

нерівностІ з однією змінною

Розв’язко м н е р івн о с т і з однією змінною називається значення цієї змінної, яке перетворює її на правильну

вони мають одні й ті самі розв’язки або не мають розв’язків.

Числові проміжки

Множину всіх дійсних чисел, менших від 10, називають проміжком від мінус нескінченності до 10 і позначають (−∞; 10). На координатній прямій ці числа розташовані ліворуч від числа 10, що можна наочно зобразити так, як це зроблено на рисунку зліва або на рисунку справа:

Зверніть увагу: коли на координатній прямій зображують числові проміжки, 0 та одиничний відрізок не позначають.

Множину всіх чисел, не більших від 10, записують у ви-

гляді (−∞; 10] і зображують так, як це зроблено на рисунку зліва або на рисунку справа:

167

Алгебра та елементарні функції

Інші випадки зображення числових проміжків на координатній прямій наведені на рисунках нижче:

168