корені. ірраціональні вирази

Перетворення раціональних виразів

Будь-який раціональний вираз можна подати у вигляді дробу або цілого виразу. Це можна зробити на основі правил дій над дробами та цілими виразами. Треба розуміти, що для раціональних виразів справедливі відомі властивості дій (переставна та сполучна властивість додавання і множення та ін.). Запис можна вести у різних формах: або виконуючи перетворення окремих частин, або ланцюжком­ .

Приклади

1) Перетворення окремих частин виразу:

корені. ірраціональні вирази

Вирази, які містять корені із змінних або виразів, на-

зиваються і р р а ц і о н а л ьн и м и.

69

Алгебра та елементарні функції

квадратний корень

К в а д р ат ним ко р е н е м із числа a називається число, квадрат якого дорівнює a.

Квадратний корінь із числа 0 дорівнює 0. Квадратного кореня з від’ємного числа не існує, оскільки квадрат будьякого числа є невід’ємним.

Квадратний корінь із додатного числа має два протилежних значення — додатне і від’ємне. Наприклад: 32 = 9 і (−32 ) = 9, тобто числа 3 і -3 є квадратними коренями з числа 9.

Невід’ємне значення квадратного кореня називають

ар и ф м е т ичним ко р е н е м.

Позначення: a; a — підкореневий вираз­ .

Зверніть увагу: вираз a має зміст тільки для a 0. Отже, для a 0 ( a )2 = a.

Корінь із добутку двох невід’ємних чисел дорівнює добутку коренів із цих чисел.

3. a = a , де a 0; b > 0.

bb

Корінь із дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню з чисельника, поділеному на корінь із знаменника.

4.a2k = ak, a 0.

Корінь із степеня a2k, у якому число а невід’ємне і k — натуральне, дорівнює ak.

Отже, a2 = a для довільного а.

70

корені. ірраціональні вирази

Перетворення виразів з коренями

Вин е се ння мн ож ник а з а знак ко р е ня здій-

снюється на основі теореми про корінь із добутку. Для цього треба підкореневий вираз розкласти на множники, деякі з яких є квадратами.

Приклади

1) 50 = 25 2 =5 2.

2)7x2 = x 7 , якщо x 0.

7x2 = −x 7 , якщо x < 0.

3) 8a3 = 4 2 a2 a =2a 2a.

Вираз 8a3 існує тільки для a 0, тому перетворення виконуємо для a 0.

4)27c6 = 3 9 (c3 )2 =

Перетворення, обернене до винесення множника за знак кореня, називається вн е се нням мн ож ник а пі д знак ко р е ня.

Приклади

1) 7 10 = 49 10 = 490 .

2) 1 18 = 1 18 = 2.

39

3)−2 3 = − 4 3 = − 12 .

Зверніть увагу: для того щоб вираз не змінив знак, знак «мінус» залишається перед коренем.

71

Алгебра та елементарні функції

Звільнення дробу від ірраціональності в знаменнику

Приклади

таке число, n-й степінь якого дорівнює а (n Z). Якщо n — число непарне­ , то існує — і до того ж тільки один — корінь n-го степеня з довільного числа а. Цей корінь — число того самого знака, що число а, і дорівнює 0, якщо a = 0.

72