Геометрія

Зрізаний конус

Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню­ — по колу з центром на осі конуса. Така площина відтинає від конуса менший конус. Частина, що залишилась, називається з р і з а н и м к о н у с о м (див. рисунок):

A1SO1 ASO;

A1S = O1S = A1O1 = R1 .

AS OS AO R

Зверніть увагу на осьовий переріз зрізаного конуса (див. рисунок). Це рівнобічна трапеція, у якої основи — діаметри основ зрізаного конуса, бічні сторони — твірні, висота — висота зрізаного конуса.

Отже, B1F2 +(R −R1 )2 = B1B2 .

Sб = π(R +R1 )l, де l = B1B, — формула для обчислення бічної поверхні зрізаного конуса.

Куля

Ку л е ю називається тіло, що складається з усіх точок простору, які розташовані від даної точки на відстані, що не більша за дану. Ця точка називається ц е н т р о м к у­ л і, а дана відстань — р а д і у с о м к у л і. Межа кулі назива-

ється к у л ь о в о ю п о в е р х н е ю або с ф е р о ю. Відрізок,

338

Стереометрія. Тіла обертання

що сполучає дві точки кульової поверхні й проходить через центр кулі, називається д і а м е т р о м. Куля є тілом обертання, яке утворюється під час обертання півкруга навколо його діаметра як осі. Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину.

O1 Rn

На рисунку в OO1 A OO1 A = 90° , OA — радіус кулі, O1 A — радіус перерізу, OO1 — відстань від центра кулі до площини перерізу (d).

Rk2 = Rn2 +d2 .

Площина, яка проходить через центр кулі, називається

д і а м е т р а л ьн о ю п л о щ и н о ю. Переріз кулі діаметраль-

ною площиною називається в е л и к и м к р у г о м, а переріз сфери — в е л и к и м ко л о м або е к в а т о р о м.

Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії. Центр кулі є її центром симетрії.

Площина, яка проходить через точку А кульової поверхні та є перпендикулярною до радіуса, проведеного в точку А, називається д о т и ч н о ю п л о щ и н о ю. Точка А назива-

ється т о ч к о ю д о т и к у.

Дотична площина має з кулею тільки одну спільну точку — точку дотику.

Пряма, яка належить дотичній до кулі площині й проходить через точку дотику, називається д о т и ч н о ю д о к у л і в ц і й т о ч ц і. Вона має з кулею тільки одну спільну точку. Лінією перетину двох сфер є коло.

Площа сфери радіуса R обчислюється за формулою

S = 4πR2.

Ку л ь о в и м с е г м е н т о м називається частина кулі, яку відтинає від неї січна площина.

339

Геометрія

На рисунку H — висота кульового сегмента­ . Кульовий сегмент обмежується частиною сфери, пло­-

ща якої обчислюється за формулою S =2πRH, і кругом, який називається о с н о в о ю сегмента.

К у л ь о в и й с е к т о р — це кульовий сегмент і конус, вершина якого в центрі кулі, а основою є основа сегмента.

Об’єми тіл

Тіло називається п р о с т и м, якщо його можна розбити на скінченну кількість трикутних пірамід.

Для простих тіл об’єм — це додатна величина, числове значення якої має такі властивості:

1.Рівні тіла мають рівні об’єми.

2.Якщо тіло розбито на частини, які є простими тілами, то об’єм цього тіла дорівнює сумі об’ємів його частин.

3.Об’єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці.

Об’єми многогранників

Об’єм будь-якої призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.

7ÌÍ 4ËÎÊ).

На рисунках наведені приклади призм із різними основами.

Для прямокутного паралелепіпеда отримаємо V = abc,

де a, b, c — його виміри.

340

Стереометрія. Об’єми тіл

Для куба V = a3 , де a — довжина ребра.

c

b H

a

Для похилої призми (рисунок нижче зліва) об’єм можна обчислити як добуток площі перпендикулярного перерізу на довжину бічного ребра: V = Ql.

Об’єм будь-якої піраміди (рисунок справа) дорівнює тре-

тині добутку площі її основи на висоту: 7Ì Í 4ËÎÊ).

l

Q H

Об’єм зрізаної піраміди (див. рисунок) дорівнює

Q2

H

Q1

Об’єми подібних тіл відносяться як куби їх відповідних лінійних розмірів.

341

Геометрія

Об’єми круглих тіл

Об’єм циліндра (див. рисунок) дорівнює добутку площі його основи на висоту.

7 4ËÎÊ); V = πR2H.

H

R

Об’єм конуса (див. рисунок) дорівнює одній третині добутку площі його основи на висоту.

7 4ËÎÊ).

V = 1 πR2H.

3

H

R

Об’єм зрізаного конуса (див. рисунок):

V = 1 πH(R12 +R1R2 +R22 ).

3

R2

H

R1

342

Стереометрія. Об’єми тіл

Об’єм кулі

На рисунку зображено кулю, кульовий сегмент і кульовий сектор.

Об’єм кулі:

V = 4 πR3, де R — радіус кулі.

3

H

RR

Об’єм кульового сегмента:

V= πH2 R − H , де H — висота кульового сегмента,

3

R — радіус кулі.

Об’єм кульового сектора:

V = 2 πR2H,де R — радіус кулі, H — висота відповідно-

3

го кульового сегмента.

Іноді треба знайти об’єм або площину поверхні тіла обертання. Щоб правильно уявити собі тіло, яке утвориться при обертанні деякого многокутника навколо деякої прямої, корисно розуміти, що відбувається в таких простих випадках.

1.Відрізок обертається навколо осі, на якій лежить один із його кінців (див. рисунок нижче зліва).

l — пряма. Проведемо BB1 l. Отже, точка B1 є проекцією B на пряму l. Відрізок AB, обертаючись навколо осі, утворює бічну поверхню конуса з вершиною A, висотою AB1

ірадіусом основи BB1.

2.Відрізок обертається навколо осі, якій він є паралельним (див. рисунок нижче справа).

Спроектуємо точки A і B на вісь l. Дістанемо точки A1 і B1.

343