Геометрія

На рисунку в трикутнику ABC BP — бісектриса B.

A P C

Подібність рівносторонніх і рівнобедрених трикутників

1.Усі рівносторонні трикутники подібні.

2.Якщо рівнобедрені трикутники мають рівні кути між бічними сторонами, то вони подібні.

3.Якщо рівнобедрені трикутники мають пропорційні основу й бічну сторону, то вони подібні.

Кути, пов’язані з колом

Кути, вписані в коло

Кут розбиває площину на дві частини. Кожна із цих частин називається п л о с к и м к у т о м. Плоскі кути із спільними сторонами називаються д о п о в н я л ьн и м и. Якщо плоский кут є частиною півплощини, то його градусною мірою називається градусна міра звичайного кута з тими самими сторонами.

Ц е н т р а л ьн и м к у т о м у колі називається плоский кут з вершиною у центрі ­кола.

Частина кола, розміщена всередині плоского кута, називається д у г о ю к о л а, що відповідає цьому центрально-

му куту. Гр а д у с н о ю м і р о ю д у г и к о л а називається градусна міра відповідного центрального кута.

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається в п и с а н и м у к о л о. Точки,

266

планіметрія. Кути, пов’язані з колом

у яких сторони вписаного кута перетинають коло, розбивають коло на дві дуги. Центральний кут, що відповідає тій із цих дуг, що не містить вершину кута, називається

ц е н т р а л ьн и м к у т о м, я к и й в і д п о в і д а є д а н о м у в п и с а н о м у к у т у.

На рисунку:

BAC — вписаний;

BAC — спирається на хорду BC;

BAC — спирається на дугу BC;

AOC — центральний кут, відповідний вписаному ку-

ту AВC.

B

O

AC

Теорема 1. Кут, вписаний у коло, дорівнює половині відповідного центрального кута.

Теорема 2. Вписані кути, які спираються на одну й ту саму дугу, рівні (рисунок зліва).

Вписані кути, які спираються на одну й ту саму хорду та вершини яких лежать по різні боки від хорди, у сумі дорівнюють 180° (рисунок справа).

α

O O

180° - α

Теорема 3. Вписані кути, що спираються на діаметр, прямі.

І навпаки, якщо вписаний кут прямий, він спирається на діаметр (див. рисунок праворуч).

267

Геометрія

O

Теорема 4. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, — середина гіпотенузи­ .

І навпаки, якщо центр описаного навколо трикутника кола — середина сторони, то цей трикутник — прямокутний, а діаметр кола — його гіпотенуза.

Теорема 5. У прямокутному трикутнику медіана, що проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи й розбиває трикутник на два рівнобедрені трикутники (див. рисунок).

І навпаки, якщо медіа­ на­ трикутника дорівнює­ половині його сторони, то цей трикутник — прямокутний, а медіану проведено з вершини прямого кута­ .

На рисунках наведені деякі види кутів, пов’язаних з колом.

Розглянемо, як знаходити їх градусні ­міри.

де α — міра дуги AB

268

планіметрія. Кути, пов’язані з колом

BAC = β−α

2

Пропорційність відрізків хорд і січних кола

Теорема 1. Якщо хорди AB і CD кола перетинаються в точці S, то AS BS = DS CS (рисунок нижче зліва).

Теорема 2. Якщо з точки P до кола проведені дві січні, що перетинають коло відповідно в точках A, B, C, D, то AP BP = CP DP (рисунок нижче посередині).

Тобто добуток січної, проведеної до кола з даної точки, на її зовнішню частину є число незмінне.

Теорема 3. Якщо з точки P до кола проведені дотична, яка проходить через точку дотику A, і січна, яка перетинає коло в точках B і C, то AP2 = PC PB (рисунок справа).

PP

A C A C

B A

O S O O

B D

B C

D

269