Геометрія

O

Якщо перетворення симетрії відносно точки O переводить фігуру F у себе, то фігура F називається ц е н т­

ва). Центр кола є його центром симетрії (рисунок справа).

Теорема. Перетворення симетрії відносно точки є рухом.

Симетрія відносно прямої

Нехай а — фіксована пряма. візьмемо довільну точку Х і опустимо перпендикуляр AX на пряму а. На продовженні цього перпендикуляра за точку А відкладемо відрізок AX′= AX. Точка X′ називається с и м е т р и ч н о ю т о ч ­ ц і X в і д н о с н о п р я м о ї а.

a

X X′

A

258

планіметрія. Рух

Якщо точка X лежить на прямій а, то вона симетрична сама собі відносно прямої а.

Очевидно, що точка, симетрична точці X′, є точка X. Перетворення фігури F у фігуру F′, при якому кожна

точка X фігури F переходить у точку X′, симетричну відносно даної прямої а, називається перетворенням симетрії відносно прямої а. Отримані фігури називаються симетрич­ ними відносно прямої а.

Якщо перетворення симетрії відносно прямої а переводить фігуру F у себе, то така фігура називається с и м е ­ т р и ч н о ю в і д н о с н о п р я м о ї а.

На рисунках наведені приклади осей симетрії фігур.

Теорема. Перетворення симетрії відносно прямої є рухом.

Поворот

П о в о р о т о м п л о щ и н и н а в к о л о д а н ої т о ч ­ к и називається такий рух, при якому кожний промінь, що

259

Геометрія

виходить­ із даної точки, повертається на один і той самий кут в одному й тому самому напрямку (див. рисунок).

X

Паралельне перенесення та його властивості

Перетворення фігури F, при якому довільна її точка з координатами (x; y) переходить у точку (x+ a; y+ b) , де a і b — одні й ті самі для всіх точок, називається п а р а ­ л е л ьн и м п е р е н е с е н н я м.

Теорема. Паралельне перенесення є рухом.

При паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну пряму (або в себе) (див. рисунок).

F

F′

Існування та єдиність паралельного перенесення

Теорема. Які б не були дві точки А і A′, існує одне й тільки одне паралельне перенесення, при якому точка А переходить у точку­ A′.

260

планіметрія. Подібність фігур

Співнаправленість півпрямих

Дві півпрямі називаються о д н а к о в о н а п р я м л е ­ н и м и або с п і в н а п р я м л е н и м и, якщо вони суміща-

ються паралельним перенесенням (рисунок нижче зліва). Теорема. Якщо півпрямі а і b однаково напрямлені

й півпрямі b і c однаково напрямлені, то півпрямі а і c також однаково напрямлені.

Дві півпрямі називаються п р о т и л е ж н о н а п р я м ­ л е н и м и, якщо кожна з них однаково напрямлена з півпрямою, доповняльною до другої (рисунок нижче справа).

Рівність фігур

Дві фігури називаються р і в н и м и, якщо вони переводяться рухом одна в одну.

Теорема. Рівні трикутники є рівними фігурами, тобто суміщаються рухом.

Подібність фігур

Перетворення фігури F у фігуру F′ називається п е р е ­ т в о р е н н я м п о д і б н о с т і, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одну й ту саму кількість разів.

261