Геометрія

планіметрія

Основні властивості найпростіших геометричних фігур

Ге о м е т р і я — це наука про властивості геометричних фігур.

Зверніть увагу: геометрична фігура — це не тільки трикутник, коло, піраміда тощо, а й будь-яка множина точок.

П л а н і м е т р і я — це розділ геометрії, у якому вивчаються фігури на площині.

То ч к а і п р я м а є основними поняттями планіметрії. Це означає, що цим поняттям не можна дати точне означення. Їх можна тільки уявити, спираючись на досвід та перелічивши їхні властивості.

Твердження, справедливість яких приймається без доведення, називаються а кс і о ­м а м и. Вони містять формулювання основних властивостей найпростіших фігур.

Твердження, які доводять, називаються т е о р е м а м и. О з н а ч е н н я — це пояснення якогось поняття, яке спирається або на основні поняття, або на поняття, що ви-

значені раніше.

Позначення: точки позначаються великими латинськими буквами; прямі — малими латинськими буквами або двома великими латинськими буквами (якщо на прямій позначені дві точки).

На рисунку зображено точки A, B, C, N, М та прямі a і b. Пряму а можна позначити як пряму MN (або NM).

209

Геометрія

N

M

C

b

Запис M a означає, що точка M лежить на прямій а. Запис C a означає, що точка С не лежить на прямій а.

Треба розуміти, що прямі a і b на рисунку перетинаються, хоча ми не бачимо, у якій точці­ .

Аксіоми

Основні властивості (аксіоми) належності точок і прямих на площині

Аксiома І

1.Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.

2.Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну. (Треба розуміти, що тут містяться два тверджен-

ня: по-перше — існування такої прямої, а по-друге — її єдиність.)

Аксiома ІІ. Із трьох точок на прямій одна й тільки одна лежить між двома іншими.

В і д р і з к о м називається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками. Ці точки називаються к і н ц я м и в і д р і з к а. На рисунку зображено відрізок АВ (відрізок позначають, записуючи його кінці).

AB

210

планіметрія. Основні властивості найпростіших геометричних фігур

Основні властивості (аксіоми) вимірювання відрізків

Аксiома ІІІ

1.Кожний відрізок має певну довжину, більш у від нуля.

2.Довжина відрізка дорівнює сумі довжин­ частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.

Основна властивість розміщення точок відносно прямої на площині

Аксiома ІV. Пряма розбиває площину на дві півпло­ щини.

Це розбиття має таку властивість: якщо кінці якогонебудь відрізка належать одній півплощині, то відрізок не перетинає пряму; якщо кінці відрізка належать різним півплощинам, то відрізок перетинає пряму.

П і в п р я м о ю, або п р о м е н е м, називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки. Ця точка називається

п о ч а т к о в о ю т о ч ко ю п р о м е н я. Різні півпрямі однієї прямої зі спільною початковою точкою називаються д о ­ п о в н я л ьн и м и.

На рисунку подані промені AB (він же AC), DA (або DB,

DC), BC, CB (або CA, CD), BA (або BD), AD.

D A B C

Промені AB і AD, BC і BD — доповняльні. Промені BD і AC не є доповняльними, бо у них різні початкові точки.

Ку т — це фігура, яка складається з точки — в е р ш и н и к у т а — і двох різних півпрямих, що виходять із цієї точ-

ки, — с т о р і н к у т а.

Кут, поданий на рисунку, можна позначити так: AOB,

(ab), O.

211

Геометрія

A a

b

O B

Якщо сторони кута є доповняльними півпрямими, кут називають р о з г о р н у т и м:

н а м и к у т а, якщо він виходить з його вершини й перетинає який-небудь відрізок з кінцями на сторонах кута. Для розгорнутого кута вважаємо, що будь-який промінь, який виходить з його вершини і відмінний від його сторін, проходить між сторонами кута.

Основні властивості вимірювання кутів

Аксiома V

1.Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180°.

2.Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

Основні властивості відкладання відрізків і кутів

Аксiома VІ. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної довжини­ , і тільки один.

Аксiома VІІ. Від будь-якої півпрямої у дану півплощину можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою за 180°, і тільки один.

212

планіметрія. Основні властивості найпростіших геометричних фігур

Тр и к у т н и к о м називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки. Точки називаються

в е р ш и н а м и т р и к у т н и к а, а відрізки — ­його с т о р о ­ н а м и.

Трикутник на рисунку можна позначити так: ABC, або ACB, або BCA і т. д.

B

ас

C

A b

Основні елементи поданного вище трикутника: сторони

AB, AC, BC (або a, b, c); кути A (або BAC), B, C. A і C —

прилеглі до сторони AC. B — протилежний стороні AC. Трикутники називаються р і в н и м и, якщо у них від-

повідні сторони рівні й відповідні кути рівні. При цьому відповідні кути мають лежати проти відповідних сторін.

Запис ABC = KMN означає (див. рисунок), що:

A C K N

213

Геометрія

Основна властивість існування рівних трикутників

Аксiома VІІІ. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому в заданому розміщенні відносно даної півпрямої.

Прямі називаються п а р а л е л ьн и м и, якщо вони не перетинаються.

Паралельні прямі, зображені на рисунку, можна позначити так: a b або AB CD.

bC

Аксіома паралельних прямих

Аксiома ІХ. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше як одну пряму, паралельну даній.

Зверніть увагу: аксіома стверджує єдиність такої прямої, але не стверджує її існування.

Взаємне розміщення прямих на площині

Дві прямі на площині можуть:

•збігатися;

•бути паралельними (тобто не перетинатися­ );

•мати одну спільну точку.

(Дійсно, якщо б дві прямі могли мати хоча б дві спільні

точки, то через ці дві точки проходили б дві різні прямі, що суперечить аксіомі І, п. 2).

214