Границя

Границя функції

Нехай функція y = f(x) визначена на проміжку (a; b) (можливо, що x ≠ x0). Число A називається границею функції y = f(x) у точці x0,якщо для будь-якого числа ε > 0 існує

таке число δ(ε) > 0, що для всіх x (a; b), x ≠ x0 і таких, що x−x0 < δ, виконується нерівність f(x) − A <ε.

Нехай x0 — внутрішня точка проміжку (a; b). Функція y = f(x) називається нескінченно малою в точ-

ці x0, якщо для будь-якого числа ε > 0 існує число δ > 0 таке, що для всіх x (a; b) (x ≠ x0 ), які задовольняють нерівність x−x0 < δ, виконується нерівність f(x) < ε.

Теорема 1. Сума (різниця) двох нескінченно малих функцій в даній точці є нескінченно малою функцією в даній точці.

Функція y = f(x) називається о б м е ж е н о ю на проміжку (a; b) , якщо існує таке число M > 0 , що для всіх значень x із цього проміжку виконується нерівність f(x) < M.

Теорема 2. Добуток нескінченно малої функції та обмеженої функції є функцією нескінченно малою в даній точці.

Теорема 3. Щоб функція y = f(x) у точці x0 (a; b) мала границею число A, необхідно і достатньо, щоб різниця f(x) − A була нескінченно малою функцією в цій точці.

Можна ввести означення, еквівалентне даному раніше. Число A називається границею функції y = f(x) в точці x0 (a; b), якщо різниця між цією функцією та числом A є нескінченно малою функцією в цій точці.

189

елементи математичного аналізу

Основні теореми про границі функцій

Теорема 1. Якщо функції f(x) і ϕ(x) в точці x0 мають границі, то сума і добуток цих функцій також мають у цій точці границю, причому

190

Границя

в то чц і x0 (a; b), якщо існує границя функції в цій точці й вона дорівнює значенню функції в точці x0 .

Нехай функція y = f(x) визначена в усіх точках деякого проміжку (a; b). Візьмемо дві довільні точки з цього про-

∆x→0

ній точці проміжку (a; b) ,то вона називається неперервною на цьому проміжку.

Основні властивості неперервних функцій

Теорема 1. Якщо функції f(x) і ϕ(x) є неперервними в точці x0 , то в цій точці будуть неперервними і функції

f(x) ±ϕ(x), f(x) ϕ(x).

191

елементи математичного аналізу

Зверніть увагу: всі дробово-раціональні функції і основ­ ні тригонометричні функції є неперервними на будь-якому проміжку, у кожній точці якого вони визначені. Графік неперервної функції на такому проміжку є безперервною лінією.

Теорема 3. Нехай функція неперервна на проміжку [a; b] і приймає на його кінцях значення різних знаків. Тоді вона обертається в нуль хоча б в одній точці цього проміжку. Якщо функція y = f(x) є монотонною на [a; b], то вона перетворюється на 0 тільки один раз.

Наслідки

1)Якщо функція неперервна на проміжку [a; b], то вона дістає на цьому проміжку будь-яке значення M, яке розташоване між f(a) і f(b).

2)Якщо функція неперервна на проміжку [a; b] і не перетворюється на нуль всередині цього проміжка, то вона має один і той самий знак в усіх внутрішніх точках проміжку.

Ці властивості дають змогу обґрунтувати метод інтер-

валів, який широко застосовується для розв’язування нерівностей.

Метод інтервалів

Нехай функція f(x) неперервна на інтервалі І й перетворюється на 0 у скінченній кількості точок цього інтервалу. Тоді інтервал І розбивається цими точками на інтервали, в кожному з яких f(x) зберігає незмінний знак. Щоб визначити цей знак, достатньо обчислити значення f(x) у будьякій точці кожного такого інтервалу.

192

Границя

Розглянемо функцію y = (x −3)2 (x +5) .

x(2x +17)5

D(y) = (−∞; −8,5) (−8,5; 0) (0; +∞) (див. рисунок):

- 8,5 0 x

Знайдемо нулі функції y(x):

x1 = 3, x2 = −5.

Ці точки поділяють область визначення функції на інтервали, в кожному з яких функція зберігає постійний знак (див. рисунок):

y(1) = (−2)2 6 > 0.

1 195

Отже, для x (0; 3) отримали y(x) > 0 (ставимо на рисунку знак «+» над цим інтервалом).

Зверніть увагу: в умові (x−3)2 показник степеня — парне число. Це означає, що знаки y(x) по різні боки від числа 3 однакові.

Решта показників степеня — числа непарні. Тому, переходячи через точки 0; -5; -8,5, знаки змінюємо на протилежні.

Вибираємо проміжки, над якими стоїть знак «-». Нерівність нестрога, тому число -5 теж є розв’язком.

Відповідь: (−∞; −8,5) [−5; 0).

193