корені. ірраціональні вирази

Позначення: n a, де n — показник кореня, a — підкореневий вираз.

Нехай n — парне число. Якщо a > 0, то існує два протилежних числа, які є коренями n-го степеня з а.

Позначення: n a — додатний корінь n-го степеня з а, −n a — протилежне йому число (n — парне).

Вираз n a, якщо n — парне, має зміст для a 0. Якщо

з невід’ємного числа називається невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

Для коренів непарного степеня n −a = −n a .

Для коренів парного степеня n xn = x для будь-якого значення х.

Для будь-якого натурального n, цілого k і невід’ємних чисел a і b справджується:

n ab = n a n b.

bn b

n k a = n k a (k > 0).

n a = n k ak (k > 0).

n ak =(n a )k (якщо k 0, a ≠ 0). n a < n b , якщо 0 a < b.

Найпростіші перетворення радикалів

1.Винесення множника за знак радикала­

Приклади

1)Винесіть множник за знак кореня (a 0, b > 0 ):

664a8b11 = 6 26 a6a2b6b5 = −2ab6 a2b5 .

2)Винесіть множник за знак кореня (a 0, b 0):

4 a5b5 = ab4 ab.

Зверніть увагу: a 0, b 0, але ab 0, a5b5 0.

73

Алгебра та елементарні функції

3) Винесіть множник за знак кореня (b 0):

8b24 = 8 (b3 )8 = b3 .)

2.Внесення додатних множників під знак радикала

Приклади

1)2x3 3x2 = 3 8x3 3x2 = 3 24x5 .

2)a −a. Цей вираз має зміст при a 0.

Отже, a −a = − a2 (−a) = − −a3 .

3) a5b3 8 a6b9 . Цей вираз має зміст для будь-якого значення a і b 0.

a5b3 8 a6b9 = a 8 a46b33 .

a

3.Зведення до раціонального вигляду членів дробових ірраціональних виразів

Приклади

1) Знаменник — одночленний ірраціональний вираз.

2)Знаменник — двочлен відносно квадратних коренів.

Використовують тотожність

(a−b)(a+b) = a2 −b2.

74