Многочлени

Якщо одночлен записаний у вигляді добутку, який містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, а всі інші множники є степенями різних букв, то він називається од н о ч л е н о м с тан д ар т н о го вигля ду.

Будь-який одночлен тотожніми перетвореннями можна звести до стандартного вигляду­ .

Для одночлена у стандартному вигляді числовий множник називається ко е фіц і є н то м, а сума показників степенів усіх букв, що входять до нього,— с т е п е н е м од­ н о ч л е на.

Якщо одночлен є числом, то вважають, що його степінь дорівнює 0.

Приклади

1) −3a2b 4a3b2 (−abc) =12a6b4c — стандартний вигляд;

12— коефіцієнт; 11(6+4+1) — степінь.

2)(−5x3y2 )3 = −125x9y6.

Будь-який одночлен стандартного вигляду можна представити добутком двох одночленів стандартного вигляду. Наприклад:

12x6 py8n+3 = −3x2py8n+2 (−4x4 py).

Многочлени

Мн о го ч л е н о м називається сума кількох одночле-

нів.

Одночлени, які складають многочлен, називаються його членами. Подібні доданки многочлена називають п одіб ­ ними ч л е нами мн о го ч л е на.

Многочлен, що є сумою одночленів стандартного вигляду, серед яких немає подібних членів, називається мн о го ­ ч л е н о м с тан д ар т н о го вигля ду.

Ст е п е н е м мн о го ч л е на стандартного вигляду називається степінь одночлена, який є найбільшим серед степенів одночленів, що утворюють даний многочлен.

Кожний многочлен є цілим виразом.

59

Алгебра та елементарні функції

Додавання та віднімання многочленів виконують за правилами розкриття дужок та зведення подібних доданків.

Множення одночлена на многочлен

Щоб помножити одночлен на многочлен, треба одночлен помножити на кожний член многочлена й одержані добутки додати. Тобто множення одночлена на многочлен здійснюється на основі розподільної властивості множення.

Множення многочлена на многочлен

Щоб помножити многочлен на многочлен, досить кожний член одного многочлена помножити на кожний член другого многочлена й одержані добутки додати.

Приклади

1) Перетворіть вираз на многочлен стандартного вигляду.

а) (3a+1)(2a+5) −(2a−3)(3a+2) =

=6a2 +15a+2a+5−(6a2 +4a−9a−6) =

=6a2 +17a+5−6a2 +5a+6 =22a+11;

б) (a−b)(a+2b)(3a−2b) =

=(a2 +2ab−ab−2b2 )(3a−2b) =

=(a2 +ab−2b2 )(3a−2b) =

=3a3 −2a2b+3a2b−2ab2 −6ab2 +4b3 =

=3a3 +a2b−8ab2 +4b3 .

2)Розв’яжіть рівняння.

( 16 x+ 13 )(x−1) = (12 x− 13 )(13 x+ 13 ),

16 x2 − 16 x+ 13 x− 13 = 16 x2 + 16 x− 19 x− 19 , x(− 16 + 13 − 16 + 19 )= 13 − 19 ,

60

Многочлени

x(− 62 + 13 + 19 )= 29 , 19 x = 29 ,

x = 2.

Розкладання многочленів на множники

Розкласти многочлен на множники означає подати його як добуток кількох многочленів.

Винесення спільного множника за дужки

Спосіб розкладання многочлена на множники на основі розподільної властивості множення називається вин е ­ се нням с пі льн о го мн ож ник а з а ду ж к и.

Приклад

4a5b3c−6a3b4c2d.

НСД (4; 6) =2. Це означає, що за дужки можна винести числовий множник 2. В обидва члени многочлена входить степінь a. Обираємо менший із показників степеня — число 3. Отже, за дужки винесемо a3 . Аналогічно винесемо b3 , c1 .

Степінь d винести за дужки не можна, бо перший додаток не містить степенів d. Таким чином:

4a5b3c−6a3b4c2d =2 2 a3 a2 b3 c−

−2 3 a3 b3 b c c d.

Отже, 4a5b3c−6a3b4c2d =2a3b3c(2a2 −3bcd).

Щоб дізнатися, який вираз залишиться в дужках, треба кожний член даного многочлена поділити на спільний множник, що виходить за дужки, тобто

Перевірити себе можна, якщо виконати множення спільного множника на многочлен у дужках.

Зверніть увагу на такий приклад:

9x5y2 −3x2y =3x2y(3x3y−1).

61

Алгебра та елементарні функції

У дужках має залишитися стільки доданків, скільки їх було в даному многочлені.

Спільний множник може бути не тільки одночленом, але й многочленом.

Приклади

3a(a−b) +2b(a−b) = (a−b)(3a+2b);

(x+y) −5x(x+y) = (x+y)(1−5x).

Спосіб групування

Цей спосіб доцільно застосовувати, якщо члени многочлена можна об’єднати в групи членів так, щоб після винесення спільних множників у кожній групі в дужках залишився один і той же вираз, тобто спільний множник для всіх груп.

Приклади

1)3x+3y+ax+ay = (3x+3y) +(ax+ay) =

=3(x+y) +a(x+y) = (x+y)(3+a).

2)Знайти значення виразу:

17,2 8,1+23,8 5,1−17,2 7,6−23,8 4,6 =

=17,2(8,1−7,6) +23,8(5,1−4,6) =

=17,2 0,5+23,8 0,5 =

=0,5(17,2+23,8) = 0,5 41=20,5.

Формули скороченого множення

(a−b)(a+b) = a2 −b2 — ф о р м ула р ізниц і к в а ­ д р ат ів.

Добуток різниці двох виразів і їх суми дорівнює різниці квадратів цих виразів.

(a+b)2 = a2 +2ab+b2 — ф о р м ула к в а д р ата с у ми.

Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток цих виразів і плюс квадрат другого виразу.

(a−b)2 = a2 −2ab+b2 —формула квадрата різниці.

62

Многочлени

Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток цих виразів і плюс квадрат другого виразу­ .

(a+b)3 = a3 +3a2b+3ab2 +b3 — ф о р м ула к у б а с у ми.

Куб суми двох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс потроєний добуток квадрата першого виразу і другого плюс потроєний добуток першого виразу і квадрата другого плюс куб другого виразу.

(a−b)3 = a3 −3a2b+3ab2 −b3 — ф о р м ула к у б а р із ­ ниц і. (Читається аналогічно попередній­ формулі.)

a3 +b3 = (a+b)(a2 −ab+b2 ) — ф о р м ула с у ми к у бів.

Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів і неповного квадрата їх ­різниці.

a3 −b3 = (a−b)(a2 +ab+b2 )—формула різниці кубів.

Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і неповного квадрата їх суми.

Формули скороченого множення застосовуються для тотожних перетворень, зокрема для розкладання многочленів на множники.

Приклади

1) Спростити вирази:

а) (x−5)2 −x(x+3) = x2 −10x+25−x2 −3x =

= −13x+25;

б) (5x−3y)(5x+3y)+(3x−5y)(3x+5y) =

=25x2 −9y2 +9x2 −25y2 =34x2 −34y2 =

=34(x2 −y2 ) =34(x−y)(x+y).

2)Розв’язати рівняння:

63