множини чисел

Натуральні числа, протилежні їм числа і число 0 нази-

ваються ц і лими чи с лами.

Кожне раціональне число можна подати у вигляді не-

скінченного періодичного десяткового­ дробу. І навпаки, кожний нескінченний періодичний десятковий дріб є раціональним числом.

Числа, які зображуються нескінченними неперіодичними десятковими дробами, називають ірр ац іо на ль­ ними.

Раціональні та ірраціональні числа утворюють мн о ­ ж ин у дій с ни х чи се л.

Позначення:

множина натуральних чисел — N; множина цілих чисел — Z; множина раціональних чисел — Q; множина дійсних чисел — R.

Зверніть увагу: кожне натуральне число є цілим, кожне ціле — раціональним, кожне раціональне — дійсним.

Приклади ірраціональних чисел:

π =3,1416...; 0,12345...; 10,1010010001...; 2 =1,4142...

Дійсні числа можна додавати, віднімати, множити, підносити до степеня й ділити (ділити на числа, що відмінні від 0).

Модуль числа

Відстань від початку відліку до точки, що зображає число на координатній прямій, називається м одул е м д а ­ н о го чи с ла. Позначення: a — модуль а. Очевидно, що для додатних чисел і 0 a = a, для від’ємних a = −a.

a, якщо a 0; a = −a, якщо a < 0.

a 0 для будь-якого числа а.

51

Алгебра та елементарні функції

Модулі протилежних чисел рівні: a = −a .

Приклади

числа не може бути від’ємним.

Порівняння чисел

Із двох чисел меншим є те, зображення якого на горизонтальній координатній прямій розташовано ліворуч, більшим — те, зображення якого розташовано праворуч.

Будь-яке додатне число більше від нуля. Будь-яке від’ємне число менше від нуля.

Будь-яке додатне число більше від будь-якого від’­єм­ ного.

Із двох від’ємних чисел меншим є те, модуль якого більший.

Приклади

4,2 > 0; −0,01< 0; 2001 > −54,3; −3,7 < −2; −0,007 > −1000.

Дії над дійсними числами

додавання

Щоб додати два від’ємних числа, треба додати їхні модулі й поставити перед одержаним числом знак «-»:

−12,1+(−5,6) = −(12,1+5,6) = −17,7 .

Щоб додати два числа з різними знаками, треба від більшого модуля відняти менший і поставити перед одержаним числом знак того доданка, модуль якого більший:

−12,1+5,6 = −(12,1−5,6) = −6,5; 12,1+(−5,6) =12,1−5,6 =6,5.

52

множини чисел

Сума двох протилежних чисел дорівнює нулю.

12,1+(−12,1) = 0.

Властивості додавання

3.0+ a = a+ 0 = a.

4.a+(−a) = 0.

Властивості додавання дають змогу виконувати дії у зручному порядку. Іноді зручно додати окремо всі від’ємні числа, окремо — всі додатні, а потім додати суми.

Приклади

1)−17+10+(−29) +17+(−10) =

=(−17+17) +(−10+10) +(−29) = −29;

2)−5+23+(−12) +(−10) +17+5 =

=(−5+5) +(23+17) +(−12+(−10)) =

=40+(−22) =18.

Віднімання

Щоб від одного числа відняти друге, досить до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику: a−b = a+(−b).

Приклади

1)−21−8 = −21+(−8) = −29;

2)−10−(−5) = −10+5 = −5;

3)16,3−(−2,4) =16,3+2,4 =18,7;

4)4,5−9,3 = 4,5+(−9,3) = −4,8.

Оскільки віднімання можна замінити додаванням протилежного числа, то будь-який вираз, який містить дії додавання і віднімання, можна сприймати як суму. Наприклад:

62−28−40 =62+(−28+(−40)) =62+(−68) = −6.

Розкриття дужок

Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «+», треба опустити дужки і знак «+», що стоїть перед ними, і записати всі доданки зі своїми знаками.

53

Алгебра та елементарні функції

Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «-», треба опустити дужки і знак «-», що стоїть перед ними, і записати всі доданки з протилежними знаками.

Приклади

1)−0,24−(5,6−a) = −0,24−5,6+a = −5,84+a;

2)−(5+a) +(4,2+a−5,8) =

= −5−a+4,2+a−5,8 = −6,6.

Множення

Щоб знайти добуток двох чисел із різними знаками, треба перемножити їхні модулі й поставити перед одержаним числом знак «-».

Щоб перемножити два від’ємних числа, треба перемножити їхні модулі (тобто добуток двох від’ємних чисел є додатне число).

При зміні знака одного з множників змінюється знак усього добутку.

Якщо добуток містить парне число від’ємних множників, він є додатним числом, а якщо непарне — від’ємним.

Приклади

1) (−3) (−10) =30; 2) (−3) 10 = −30;

3) (−1) (−1)…(−1) =1;

20

4) u .

Квадрат будь-якого числа є число невід’ємне.

Наприклад:

(−3)2 = (−3) (−3) = 9;  02 = 0.

Тобто a2 0 для будь-яких значень а.

Знак куба числа збігається зі знаком самого числа.

Наприклад:

(−2)3 = (−2) (−2) (−2) = −8;

23 =2 2 2 = 8;  03 = 0.

Тобто, якщо a > 0, то і a3 > 0; якщо a < 0, то і a3 < 0. Зверніть увагу: (−a)2 = a2; (−a)3 = −a3.

Для множення чисел справджуються властивості: переставна — ab = ba;

54

множини чисел

сполучна — (ab)c = a(bc);

розподільна — a(b+c) = ab+ac; a(b−c) = ab−ac.

Для будь-якого а правильно­ : a 1=1 a = a; a (−1) = −1 a = −a; a 0 = 0 a = 0.

Приклади

1) −125 1,5 (−8) 6 = (125 8) (1,5 6) = =1000 9 = 9000.

Добуток є додатним, тому що містить два від’ємних множники.

2)−6(2a−b) = −12a+6b.

3)5a(−2b+4c−7) = −10ab+20ac−35a.

4)Винести за дужки спільний множник:

а)  7x+7y =7(x+y);

б)  4mk−10mp =2m(2k−5p);

число 2 є НСД (4; 10).

Якщо буквений вираз можна записати як добуток числа й однієї чи кількох букв, то це число називають ч и с л о ­ вим ко е фіц і є н то м вир азу. Наприклад:

2,5ab2c, коефіцієнт 2,5; −3k, коефіцієнт −3;

а, коефіцієнт 1; −a, коефіцієнт −1.

Доданки, які мають однакову буквену частину, назива-

ються п одіб ними.

Щоб звести (тобто додати) подібні доданки, треба додати їхні коефіцієнти й результат помножити­ на спільну буквену частину.

Приклади

1)7(2x−3) +4(3x−2) =14x−21+12x−8 = =26x−29;

2)4x−2a+6x−3a+4a−5 =10x−a−5.

Ділення

Часткою двох від’ємних чисел є число додатне. Щоб знайти його модуль, треба модуль діленого поділити на модуль дільника.

55