время останавливается (парадокс часов), см. [29, п. 106, 111; 14, с. 317–319]. Поэтому преобразование Лоренца не изучается в предлагаемой в данной книге общей модели природы.

В [14, с. 306] показано, что, кроме преобразований Лоренца, существуют более общие классы преобразований, для которых также имеет место инвариантность классических уравнений Максвелла. Преобразование Лоренца выделяется из них соответствием его метрики постулату о постоянстве скорости света [14, с. 312]. Однако этот постулат до сих пор нельзя считать экспериментально обоснованным, см. приложение 3 на с. 593. Наличие множества инвариантных преобразований классических уравнений Максвелла означает возможность выбора отличной от лоренцевой инвариантности в качестве аксиомыи построение на её основе другой общей модели природы.

Однако с точки зрения математического моделирования наибольшую ценность представляет наименее сложная модель, следствия которой соответствуют всем хорошо установленным опытным фактам. Такому критерию отбора моделей удовлетворяет эфирная модель природы (4)–(6).

Ниже подробно рассмотрен вопрос об инвариантности обобщённых (22), (23), (26)–(29) и классических (33) уравнений Максвелла относительно преобразования Галилея с использованием представленной в п. 2.1 механической трактовки этих уравнений как математических следствий уравнений эфира (4)–(6).

2.5.2.Преобразование производных и операторов при замене переменных Галилея. Инвариантность уравнений неразрывности и движения эфира в эйлеровых переменных

Исходные уравнения эфира (4)–(6) записаны в лагранжевых переменных. Рассмотрим подробно входящую в них полную

71

производную по времени ( , ( ))/ , где ( , ( )) – произ-

вольный дифференцируемый вектор. Согласно правилу дифференцирования сложной функции (суперпозиции функций),

Таким образом, преобразование частной производной по времени при галилеевой замене (43) приводит к неинвариантному выражению, в котором появляется дополнительный член, содержащий скорость движения штрихованной системы координат . Способы компенсации этого члена в уравнениях Максвелла и обсуждались в работах Лармора, Лоренца, Пуанкаре

[108].

Оператор конвективной производной имеет следующее представление через компоненты векторов в произвольной криволинейной системе координат

73

Перейдём в конвективной производной к подвижным координатам (43)

Видно, что конвективная производная (45), также как и частная производная по времени (44), неинвариантна относительно галилеевой замены (43).

Однако в сумме частной и конвективной производных неинвариантные′ = члены, содержащие , дают ноль. В результате, с учётом , выражение полной производной по времени через частные производные в подвижной системе (43) имеет тот же вид, что и в исходной (42):

74

Это доказывает инвариантность полной производной по времени.

Операции градиент, дивергенция и ротор содержат только производные по, (пространству) / ( ) = . Применяя′ ′, ′( ′)полученную/′( ′) на с. 35

формулу , устанавли-

ваем,чтоэтиоперацииявляютсяинвариантнымипригалилеевой замене переменных (43).

Таким образом, исходные уравнения эфира (4)–(6) можно представить в форме, использующей частные производные,

Уравнения (46), (47) инвариантны относительно преобразования Галилея (43), так как имеют тот же вид, что и в исходной системе координат. В п. 1.3 инвариантность уравнений неразрывности и движения эфира доказана другим способом, исходя из определения производной.

Лагранжево описание движения является исходным при построении механики сплошной среды, так как оно «всегда подразумевается при формулировке физических законов» [14, с. 30]. Переход к эйлеровой форме описания движения связан, в основном, с обеспечением возможности применения хорошо развитых методов математической физики для получения решений уравнений в виде аналитических формул, хотя некоторые задачи можно более успешно решать в лагранжевом подходе [24].

Перейдём в уравнениях (46)–(48) от переменных Лагранжа к

образом, лагранжева и эйлерова формы записи уравнений неразрывности и движения эфира эквивалентны и в по-

инвариантен. Такие свойства

ние Галилея всегда подразумевает наличие исходной системы координат, в которой определён вектор скорости среды , а замена переменных в векторе, понимаемом как направленный отрезок, и введение новой системы координат могут привести к изменению проекций вектора на оси координат, но не к изменению длины и направления вектора. Такое понимание инвариантности вектора важно для построения реалистической математической

77