конденсатора и диэлектрической проницаемости. Формулы ёмкости конденсаторов различной формы выведены, например, в
[28, п. 26].
Подставив формулы (75), (76) в (184), получаем представле-
ния
,0 |
|
|
1 |
2 |
|
(185) |
|
|
|
|
|
|
позволяющие дать эфирную интерпретацию отношения заряда к ёмкости конденсатора как разности давлений эфира или разности плотностей энергий установившихся течений эфира, создаваемых его обкладками. Больший заряд при заданной ёмкости означает большую разность давлений эфира или плотностей энергий течения.
18.6. Уравнение тока в контуре постоянной формы
|
Рассмотрим эфирную интерпретацию течения электриче- |
||||||||||||||||||
скоготокав замкнутойцепи |
|
изпроводов.Пустьформаконтура |
|||||||||||||||||
не меняется с течением |
времени. Рассмотрим цепь, состоящую |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|||||||||
1, . . ,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||
из |
четырёх последовательно соединённых отрезков |
|
|
|
|
||||||||||||||
приложена |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
второй |
|||||
|
|
, таких, что первый обладает индуктивностью |
|
, |
|
= |
|||||||||||||
– сопротивлением |
|
, третий – ёмкостью С , а к четвёртому |
|||||||||||||||||
|
Применим к этому |
|
|
( ) |
(см. рис. 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
внешняя э.д.с. |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|||||||
отсутствия внешних сил = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
контуру основной закон электромагнит- |
||||||||||||
ной индукции (109) с учётом неизменности его формы |
|
|
|
|
и |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
= −( ), |
( ) = ( ) ∙ . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
215 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3. Схема замкнутой цепи.
В рассматриваемой цепи изменение происходит на трёх участках. Поэтому интеграл по контуру распадается на сумму трёх интегралов по отрезкам
∙ .
=2
Обозначив э.д.с. (или напряжение) каждого отрезка
( ) ≡ ∙ ,
получаем
|
|
|
= − ( ). |
(186) |
|
|
|||||
=2 |
|
||||
По формуле (107) в левой части уравнения (186) имеем
216
|
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
На участке с |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
total |
|
|
|
|||||||
падение напряжения 2( ) |
≡ −( ) в |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
сопротивлением |
воспользуемся формулой |
||||||||||
(182), связывающей электрический ток |
|
|
, сопротивление |
|
и |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проводнике |
|
|
|||
total( ) = − ( ) ,
2total
Падение напряжения на участке с конденсатором определяется формулой (184)
3( ) = − ( ) .
На четвёртом участке э.д.с. задана внешним источником
4
Подставляя формулы для ( ), = 2,3,4 в равенство (186), получаем известное уравнение для тока в замкнутой цепи постоянной формы с учётом индуктивности, сопротивления и ёмкости
(см., например: [28, с. 273] и формулу (122.2) в [28, с. 514])
2 |
|
+ ( ) total( ) + |
( ) |
= ( ). |
(187) |
|
|
217 |
|
|
|
Запишем уравнение (187) в терминах заряда , определённого выражением (66). Возьмём от (66) полную производную по времени при неподвижном объёме обкладки конденсатора и воспользуемся равенством (31)
|
|
= |
|
= − |
∙ = − |
∙ , |
где |
|
поверхность объёма обкладки конденсатора . |
|
|||
|
В–эфирной интерпретации через конденсатор течёт поток |
|||||
эфира (см. п. |
18.5). Будем считать, что через обкладку конденса- |
|
цепи total( ) |
|
|
тора протекает тот же полный ток эфира, что и вдоль контура |
||
|
− |
∙ = total( ). |
Знак минус означает, что ток втекает в обкладку конденсатора, так как вектор направлен по внешней к нормали.
Тогда
|
= total( ) |
(188) |
|
|
и уравнение (187) переходит в уравнение относительно заряда
2 ( ) |
|
+ ( ) |
|
+ |
( |
) |
= ( ). |
(189) |
Это уравнение совпадает с хорошо известным уравнением колебательного контура постоянной формы (см., например, формулу (122.5) в [28, с. 515]). Однако его интерпретация принципиально отличается от принятой в электротехнике.
218
В п. 8, 18.4, 18.5 показано, что все величины, входящие в ле-вуючастьформулы(187) или(189),выражаютсячерезплотность , скорость эфира и геометрию компонентов проводника. Поэтому при описании электрического тока в цепи не требуется привлечения каких-либо сведений об электрически заряженных частицах, несмотря на то что в уравнения (187), (189) входит заряд. В эфирной интерпретации заряд (66) ассоциируется с течением эфира, при этом присутствие носителей заряда, например элементарных частиц, не обязательно.
Из способа получения формул (187), (189) заключаем, что уравнение колебательного контура (уравнение тока в замкнутой цепи) является логическим следствием закона сохранения импульса эфира (второго закона Ньютона).
Понимание процессов в электрической цепи как течения эфира через различные её элементы даёт наглядное представление о механизме передачи энергии вдоль цепи с разрывами, например конденсаторами или электродами. При этом движение заряженных частиц в цепи не исключается, но является вторичным эффектом.
18.7. Плотность энергии электрического тока при неза-
вихренном магнитном поле
Рассмотрим незавихренное в смысле × (| |2 ) = 0 маг=- 0нитное поле . В этом случае уравнение (34) переходит в total или
−4 = .
Умножим данное уравнение скалярно на вектор напряжённости электрического поля . Получим выражение
219
−∙ = 8 ,
которое означает, что величина, равная плотности мощности (144), которая стоит в левой части, связана со скоростью изменения квадрата напряжённости электрического поля.
[ 0, Проинтегрируем] это выражение по времени на промежутке0 , предполагая, что в начальный момент времени электри-
ческое поле отсутствует,
− 0 ∙ = 8 .
Находим плотность энергии электрического поля
|
|
|
|
|
|
|
≡ − 0 ∙ , |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= . |
|
|
|
|||
|
При создании тока в |
проводнике в единице объёма соверша- |
|||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
||||||||
|
внешняя работа, равная минус |
. |
|
|
|||||||||
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
учтены в скорости |
||
етсяВ эфирной трактовке свойства вещества |
|||||||||||||
|
.Поэтому |
|
представляетсобойэлектрическоеполеввеществе. |
||||||||||
|
|
рассматривать электрическое поле |
|
в отсутствие |
|||||||||
уравнения |
|
|
|
|
= vac |
|
|
|
диэлектрической |
||||
вещества, а поле в веществе характеризовать vac |
|
||||||||||||
проницаемостью |
|
: |
|
|
, то в веществе следует исходить из |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−4 = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
220 |
|
|
|
|
Для не зависящего от времени |
при приложении к веществу |
||
внешнего поля vac аналогично получаем |
|||
≡ |
8vac |
. |
(190) |
Это выражение используется в электротехнике для введения плотности электрической энергии цепи.
Эфирное понимание электрического тока в цепи позволило из самых общих соображений получить плотность электриче-ской× (|энергии|2 ) =цепи0 как следствие второго закона Ньютона при , а не как следствие некоторого постулата [28, с.
346].
Магнитная энергия цепи из проводов рассмотрена в п. 18.8.
18.8. Магнитнаяэнергиязамкнутогопроводникастоком в магнитном поле. Плотность магнитной энергии в цепи
Рассмотрим замкнутый контур , в котором течёт ток . |
||||||||||
формуле (131), на элемент контура действует сила2 |
. Согласно |
|||||||||
Пусть этот контур находится в |
магнитном поле |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|||||
1 = 1 |
× |
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
||||||||
ствием силы 1 равна |
|
|
элемента |
контура |
под дей- |
|||||
Работа при смещении на |
|
|
|
|||||||
∆12 ≡ 1 ∙ |
= 1 × |
|
∙ . |
|
|
|
||||
|
|
221 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем смешанное произведение векторов
|
|
смещении |
|
|
= | | |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
рем перпендикулярно и вектору |
|
|
|
, и вектору : |
|
|||||||||||||||||||||
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
элемент поверхности, возникающей |
|||||||||||||||||||
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
элемента контура. Направление вектора выбе- |
|||||||||||||||||||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∆12 = 1 |
|
|
|
∙ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Пустьсмещениеэлементовконтурапроисходиттак,чтокон- |
|||||||||||||||||||||||||
тур |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стягивается в точку, двигаясь по произвольной поверхно- |
||||||||||||||||||||||||
ной поверхностью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
сти |
|
. Интегрируя по этой поверхности |
|
|
, получаем энергию, |
|||||||||||||||||||||
связанную с исходным контуром |
|
|
, током |
|
|
в нём и произволь- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
= |
|
1 |
|
2 |
∙ . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Для постоянного тока |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
= |
1 |
|
|
2 |
∙ , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограничена контуром . |
|||||||
|
По построению поверхность |
|||||||||||||||||||||||||
ную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поток через |
||
Поэтому интеграл представляет |
|
|
|
|
|
|
магнитный |
|||||||||||||||||||
контур (точнее,через |
произвольнуюповерхность |
|
,ограничен- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
собой |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
контуром |
|
|
) |
Φ2 = |
|
2 |
|
∙ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
222 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
Φ2 |
|
|
|
|
|
12 = |
|
Φ2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(191) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
этомуи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|||||
некоторой общей,12 |
|
|
|
|
|
|
|
поверхности |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Поток |
|
|
не зависит от выбора |
|
(см. п. 8). По- |
||||||||||||||||||||||||||
В |
|
энергия |
|
|
независитот . Такимобразом, |
|
|
является |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
характеристи- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
не зависящей от поверхности |
||||||||||||||||||||||||
кой контура с током |
|
|
в магнитном поле . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
электротехнике формула (191) называется магнитной |
||||||||||||||||||||||||||||||
тураВычислим. |
теперь плотность энергии 12 элемента кон- |
||||||||||||||||||||||||||||||
энергией контура (см., например: [28, п. 69]). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
сечением |
|
. Согласно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
действует∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
замкнутого контура |
|
с поперечным |
||||||||||||||||||
Рассмотрим элемент |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
сила |
|
|
|
|
|
главному члену в формуле (129), на него |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 = ∆ 1,total × |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
элемент контура |
||||||||||
Пусть под действием данной силы |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
смещается на . При этом совершается работа |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
∆12 ≡ 1 ∙ |
= ∆ 1,total × |
|
|
|
∙ . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Определим |
приращение |
плотности магнитной |
энергии в |
||||||||||||||||||||||||||||
цепи с током по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
12 ≡ |
|
|
|
|
|
= 1,total × |
|
|
|
|
∙ . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Удобство введения |
|
состоит в том, |
что эта величина не за- |
||||||||||||||||||||||||||||
висит от площади |
|
|
12 ∆ |
и длины |
|
|
элемента контура. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
сечения |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
223 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (34) при | | ≈ |
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
Поэтому |
|
1,total |
|
|
|
|
|
|
|
|
(192) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
= |
4 |
|
× 1 |
× 2 ∙ . |
|
|
|
|||||||
Вычислим |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
проницаемость |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
плотность энергии цепи в магнитном поле, созда- |
||||||||||||||
ваемом ей самой |
|
|
|
|
, где |
|
|
|
– относительная магнитная |
|||||||
|
|
среды, в которой находится проводник: |
||||||||||||||
1/| 1| |
|
11 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(192) |
следует, |
|
что |
|
|
. |
поля |
|||||||
Из |
формулы |
|
4 |
|
|
|
|
|
≡ 1,total/ 1,total |
|
||||||
Рассмотрим правую |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
малого элемента проводника перпендикулярно направ≡- |
|||||||||||||||
лению протекающего в нём тока |
|
|
|
|
|
= |
× , , |
|||||||||
(см. рис. 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ортогональную декартову систему ко- |
|||||||||||
ординат с единичными базисными векторами |
|
|
|
|||||||||||||
В этой системе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( × 1) × 1 = |
|
− |
|
|
× 1 . |
|
( , , ) |
||||||||
Для постоянного вдоль проводника поля 1 = 1 |
||||||||||||||||
( |
× 1) × 1 = −1 |
1 |
|
× = −2 |
1 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
224 |
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 4. Смещение элемента проводника. Начальное положение отмечено штриховой линией.
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 = − |
1 |
|
|
∙ . |
|
|
|
|||
В данной системе 8 |
|
|
|
|
|
|
||||
можно представить в виде |
= − + + |
. |
|
|||||||
означает, что при |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
координат произвольное смещение |
|
||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
Минус |
|
|
положительном |
смещение происходит про- |
||||||||
тив направления оси |
|
(рис. 4). |
|
|
|
|
|
|||
11 |
= 8 |
1 |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
225 |
|
|
|
|
|
Видно, что вклад в плотность энергии даёт только перемещение
элементарногоучасткацепипооси |
, тоестьвнаправлении,пер- |
|||||||
пендикулярном и плотности тока, и магнитному полю. |
||||||||
Проинтегрируем по смещению на отрезке |
. Получим |
|||||||
её элемента из точки ′ в точку ′′ |
|
|
при смещении |
|||||
приращение плотности магнитной энергии в цепи[ ′, ′′] |
||||||||
11 |
|
11 |
|
′ |
до |
1 |
|
1 |
ника, поле 1 |
и плотность |
|
11 |
|
|
|||
В случае, когда в точке |
8, |
смещения элемента провод- |
||||||
|
|
11 |
энергии |
|
отсутствовали, имеем |
|||
Здесь |
|
|
8 |
1 |
|
|
(193) |
|
|
11( , ′′, ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представляет собой плотность энергии, воз- |
||||||
никающейврезультатемгновенногоперемещенияэлементапроводника с мгновенным включением тока. Отметим, что такая
плотность энергии |
|
|
оказывается не зависящей от |
того, из какой точки |
происходит смещение элемента контура, |
||
|
11( , ′′, ) |
|
|
и поэтому является его′ |
некоторой общей характеристикой. |
||
Как уже неоднократно отмечалось, изучение мгновенного появления некоторой величины является обычной методикой длямеханикисплошнойсреды(см.,например:[17,п.3.3,3.7,4.1; 16, с. 636]). Такой подход избавляет от необходимости учитывать предшествующее состояние среды.
Эфирная трактовка тока в цепи позволила ввести магнитную энергию контура и плотность магнитной энергии в цепи не как следствия некоторого постулата [28, с. 346] или обобщения опытов, а как следствия второго закона Ньютона, а также установить механическое содержание данных величин как работы или плотности работы по созданию и перемещению вихрей в сплошной
226