′ , ′( ) ≡ ( , ′( ) + ) = , ( ) (более подробно ис-

пользование инвариантных объектов в математическом моделировании и инвариантных операций с ними обсуждено в п. 2.5). Таким образом, с точки зрения математической процедуры замены переменных формула (15) является инвариантной относительно преобразования Галилея. Такое понимание инвариантности базируется на априорном задании величин в исходной системе координат и их инвариантности относительно замены переменных.

Физическую интерпретацию данного понимания инвариантности можно проиллюстрировать на примере. Наблюдатель, находящийся в подвижной системе координат, которая движется вместе со средой, может не ощущать её движение и вообще не замечать наличие среды. Но если он остановится и подвергнется воздействию среды, то должен будет заключить, что среда обладает каким-то кинетическим свойством, которое необходимо отражать в её математической модели, даже если в какой-то системе координат это свойство не проявляется.

2. Вывод уравнений Максвелла из уравнений эфира

Задача получения уравнений Максвелла из классических подходов механики сформулирована достаточно давно. Например, Н.Е. Жуковский обсуждал направления её решения ещё в

1918 году [59].

В данном разделе представлен вывод обобщённой системы уравнений Максвелла – Лоренца из уравнений механики эфира

(4)–(6), состоящей из уравнения неразрывности и второго закона Ньютона. Рассмотрены некоторые свойства этой системы. Результаты статьи [45] обобщены на случай присутствия в модели силы и градиента давления.

46

Полученные теоретически обобщённые уравнения Максвелла – Лоренца справедливы как на макро-, так и на микроуровне, что подтверждает гипотезу, использованную Лоренцом для описания микроуровневых электромагнитных процессов (см., например: [37, с. 338]).

В некоторых подходах уравнения Максвелла выводят с использованием уравнения колебаний (см., например: [60, с. 98], а также [61, 109, 110]). Здесь вывод основан на исходной системе уравнений эфира, которая описывает не только колебательные процессы. Поэтому представленныйздесьрезультатявляется более общим.

2.1.Выводобобщённыхуравнений Максвелла– Лоренца из уравнений эфира и

вектора напряжённости электрического поля обусловлено воз-

можностью их измерения в натурных экспериментах. Хотя техническая реализация измерений и их интерпретация – отдельная сложная задача (см., например: [88–90]).

Эфирные определениявекторов и даны в работах [40, 46, 48, 50] как ротор и конвективная производная (производная вдоль кривой [51, п. 5.5-3, 16.10-8]) от плотности потока эфира:

. Если, как в системе СГС (с абсолютной гауссовой системой

47

вать, чтобы и имели одинаковые единицы измерения, то должна иметь размерность скорости. По аналогии с общей физи-

для измерения электрических и магнитных величин), потребо-

кой определённую так скорость назовём эфиродинамической постоянной. Сравнение теоретически полученных здесь уравне-

ний Максвелла с установленными в единицах СГС эксперимен-

динамической постоянной. Её значение измеряется экспериментально и оказывается равным скорости света в вакууме (см.,

рый рассматривал магнетизм как вихревое движение, а ток как

уравнения Максвелла как следствие второго закона Ньютона (5).

48

велла. Получим по аналогии с [45] из уравнений эфира самые общие макроуровневые уравнения Максвелла. Для этой цели удобно записать систему (4)–(6) в эйлеровых переменных

Переход от лагранжевых к эйлеровым переменным подробно описан в п. 2.5.2.

49

Согласно уравнению движения (23), введение по формуле (21) означает трактовку электрического поля как силового члена в левой части уравнения (23), равного производной плотности потокаэфиравдольтраектории(кривой,направлению)иличасти полной производной по времени, содержащей дифференцирование по пространственным координатам [51, п. 5.5-3, 16.10-8].

Следует отметить, что соотношение между и , возникающее в определении (21), является также следствием уравнения движения (23). Действительно, из формул (21) и (23) имеем

= − + ,0 . (24)

Подставив теперь (24) в (23) и воспользовавшись выражениями

(21), (20), получаем

Отметим, что формула (25) не зависит от вида правой части уравнения (23), то есть справедлива и на микро-, и на макроуровне. Эта формула позволяет классифицировать потоки эфира (см. в п. 15).Кроме того, формулу(25), а такжеисточникии силы в (4), (5) можно пытаться использовать для экспериментального подтверждения наличия эфира.

Левая часть (25) является полем, соответствующим силе Лоренца, а правая – представлением силового воздействия эфира

50

По аналогии с классической физикой назовём это уравнение обобщённым уравнением Фарадея.

Взяв дивергенцию от (20), (21), находим

(27)

(28)

4 ≡ ∙ ( ∙ )( )

= ∙ | | ( | |) − ∙ × × ( ) ,

51

где имеет смысл плотности заряда, определяемой течением эфира. В физике формула (28) называется электростатической теоремой Гаусса в дифференциальной форме [28, п. 7]. Здесь эта формула получена как следствие определений электрического поля и плотности заряда в эфире.

Применим( ∙ ) к уравнению (23) оператор производной вдоль кривой . Получим

При выводе уравнения (29) использовались известные правила действия с оператором (см., например, таблицу 5.5-1 в

( ∙ ) + ( ∙ ) − ( ∙ ) −× ( × ),

× ( ( ∙ ) −( ∙ ) ) − × ( × ) − × × ( × ) ,

выражение для двойного векторного произведения

52

и аналог/ формулы (3) из [52], который получается≠ 0 подстановкой из уравнения (4) в уравнение (5) при ,

= ( ∙ ) − ( ∙ ) − + ,0 . (30)

Более подробно вывод формулы (29) описан в приложении 1

на с. 586.

Взявдивергенциюотуравнения(29),получаемсоотношение между плотностью заряда и плотностью электрического тока

специальное разложение вектора в левой части уравнения (23) на два вектора, приводящее к формулам (26) и (29). Если в результате такого разложения получаются линейно независимые векторы, то каждое из уравнений (26) и (29) даёт существенную информацию о поведении и .

53

В случае | | ≈ , × = 0 и экспериментально определяемых и уравнения (26)–(29) переходят в классическуюсистему

уравнений Максвелла

Вывод этой формулы из второго закона Ньютона представлен в п. 16.1.

Таким образом, систему (20)–(23), (25), или (22), (23), (25)–

(28), или (22), (23), (26)–(29), где искомыми являются функции

, , , , можно интерпретировать как систему обобщённых уравнений Максвелла, а вместе с формулой для – как систему обобщённых уравнений Максвелла – Лоренца.

Важно отметить, что исходные уравнения эфира (22), (23) инвариантны относительно преобразования Галилея (см. п. 1.3). Причинами потери такой инвариантности в уравнениях Максвелла являются неинвариантное преобразование уравнения движения эфира, использование достаточно сложных дифференциальныхоператоров, трактовкаполейиплотностиэлектрического тока в отсутствие какой-либо среды, линеаризация нелинейных

54

уравнений эфира при | | ≈ . Вопрос об инвариантности обобщённых и классических уравнений Максвелла подробно рассмотрен в п. 2.5.

Условия (27), (28), сужающие в уравнениях Максвелла класс допустимых решений, можно трактовать как некоторую компенсацию расширения множества решений, возникающего при применении дифференциальных операторов к уравнению движения

стой ответ.

стиц. В результате уравнение (29) записывается в другой эквивалентной форме

связанного с плотностью заряда уравнением (31), и плотности тока, вызванного изменяющимся во времени электрическим полем.

55

ампли-

туда поперечной скорости. Согласно формулам (20), (21), данным скорости и плотности эфира соответствует плоская монохроматическая циркулярно поляризованная электромагнитная волна. Известно, что такая волна удовлетворяет и классическим уравнениям Максвелла (33). Более подробно волновые процессы в эфире рассмотрены в п. 4.

Достоинством эфирного представления электромагнитных волн является присутствие в явном виде компоненты скорости в направлении распространения волны помимо поперечной колебательной компоненты (см. также формулы (80), (214)). Поэтому эфирное представление электромагнитной волны позволяет объяснить наблюдаемый в экспериментах корпускулярно-волновой

56