модели, так как отсутствие изменения положения точки в какойто подвижной системе координат, вообще говоря, не означает, что среда не обладает скоростью в исходной системе координат. Адекватная математическая модель должна учитывать априорное наличие вектора скорости в исходной системе координат.
Данные свойства приводят к тому, что при преобразовании Галилея (43) выражение
|
|
∙ |
, |
(52) |
не является инвариантным, а выражение
|
(53) |
|
является инвариантным. Поэтому при переходе в подвижную систему координат операции (52) и (53) надо различать, несмотря на то, что в исходной системе координат эти операции эквивалентны.
2.5.3.Причина потери галилеевой инвариантности в обобщённых уравнениях Максвелла – неинвариантное преобразование исходных уравнений эфира. Инвариантность обобщённых уравнений Максвелла при досветовой скорости движения системы координат
Инвариантность ротора вектора и выражения (53) относительно преобразования Галилея (43) позволяет заключить, что определения магнитного и электрического полей (20), (21) являются инвариантными относительно этого преобразования
78
|
′ |
′
(54)
(55)
Здесь и далее в п. 2.5 наличие штриха у функции будет означать, что её аргументы также штрихованы.
Сделаем важное пояснение к определению |
|
. В постулируе- |
|||||||||||||||
мом уравнении движения эфира (5) с полной |
производной, пред- |
||||||||||||||||
|
|
|
/ = |
||||||||||||||
( / ∙ )( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ставленной через частные производные, фигурирует выражение |
|||||||||||||||||
ями |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
( , ) |
. По- |
||||
|
|
. В исходной системе координат |
|
||||||||||||||
мула( / ∙ )( ) |
|
, |
|
( ∙ )( ) |
|
|
|
|
|
|
выражени- |
||||||
этому в исходных координатах определения |
|
|
|
||||||||||||||
тельно( / ∙ )( ) |
|
|
|
|
. |
|
эквивалентны. Однако фор- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( / ∙ )( ) |
= ( ′/′∙ |
||||||
)(′ ′) + ( ∙ |
|
|
|
согласно (45), неинвариантна относи- |
|||||||||||||
)( ′′) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
преобразования |
|
Галилея: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
скую |
( / ∙ )( ) |
|
|
Определение |
|
по неинвариантной |
|||||||||||
формуле′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
привело бы к введению в математиче- |
|||||||||
модель неинвариантного понятия и в результате к неинвариантному описания эфира в терминах такого понятия. Поэтому электрическое. поле определяется инвариантным выражением
(55)
электрического поля (55) состоит в понимании ,0 как плот-
Физическая интерпретация инвариантного определения
ности силы, обусловленной перемещением лагранжевых объёмов сплошной среды в исходной системе координат. В математической абстракции такая сила описывается направленным отрезком (вектором), инвариантным относительно преобразования Галилея.
Взяв дивергенцию от (54), (55), находим
(56)
(57)
Подставим уравнение (51) в (50): 79
′ |
+ (′∙ ′)(′ ′) − ( ∙ ′)(′ ′) = |
,0 |
. |
(58) |
||
( ∙ |
)(′ ′) ≠ 0 |
|
|
|
|
|
Уравнение (51) неинвариантно. Поэтому такая подстановка при |
||||||
неинвариантное′ |
|
превращает инвариантное уравнение (50) в |
||||
, то есть является неинвариантным преобразова- |
||||||
нием уравнения. Однако, если при галилеевой замене рассматри- |
|||||||
|′| |
|
|
|
|
| | |
|
|
вать не слишком быстро движущиеся системы координат |
вы- |
||||||
|
, то свойство инвариантности для уравнения (58) будет| | |
||||||
полняться приближённо с точностью до члена порядка |
|
: |
|
||||
|
′ |
+ (′∙ ′)(′ ′) = |
,0 |
. |
|
|
(59) |
|
Скорость свободного распространения возмущений в эфире |
||||||
равна скорости света. Характерные скорости процессов в эфире
имеют тот же порядок. Поэтому данное приближение выполнено |
||||||||||||||||||
Уравнение (59) будет выполняться без |
|
|
|
| | ~ |
|′| |
|
||||||||||||
для преобразований Галилея к системам координат, скорость |
||||||||||||||||||
движения которых много меньше скорости света |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
Так же как в п. 2.1, применим |
(к ∙ |
)(′ ′) = 0 |
|
в |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограничения на |
|||||||
случае специальных потоков эфира: |
|
|
|
|
( |
|
∙ |
) |
. |
|
||||||||
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнению′ |
(59) оператор |
|||||||||
|
и оператор производной вдоль кривой |
|
′ |
|
. Получим |
|||||||||||||
обобщённые′ |
уравнения Фарадея и Ампера в штрихованной′ |
си- |
||||||||||||||||
стеме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
(60) |
|
|
|
|
|
|
+ ′ × |
= ,0 |
′ |
× |
, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(61) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
,0 . |
|
|
|||||||||||
|
|
′ + (′∙ ′)(′) = (′∙ ′) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С помощью преобразований, описанных в приложении 1 на с. 586, уравнение (61) приводится к форме
′ × ′ = ′ + 4 ′. (62)
Получаем систему обобщённых уравнений Максвелла в подвижной системе (54)–(57), (60), (62), вид которых совпадает с их видом в исходной системе координат (20)–(23), (26)–(29). Поэтому обобщённые уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразования Галилея с точностью до величины по-
рядка |
|
|
или для специального потока эфира |
( ∙ |
|
|
|
|
без ограничения на . |
||
′ |
|
| | |′| |
|
||
|
общем случае произвольной скорости движения подвиж- |
||||
|
)(В′ ′) = 0 |
|
|
|
|
нойсистемыкоординат обобщённыеуравненияМаксвелла,по-
лученные из (58), вообще говоря, не будут инвариантными относительно преобразования Галилея, так как в результате этого преобразования в них появляется член, зависящий от :
|
+ ′ |
× ′ = ,0 |
′ |
× ′ + ′ × ( ∙ ′)(′ ′) , |
|||||||||||
′ × |
|
′ = |
′ |
+ 4 ′ − ( ′ ∙ ′) ( ∙ ′)(′ ′) . |
|||||||||||
Таким образом, |
расчёт |
|
|
|
и |
|
из обобщённых уравнений |
||||||||
Максвелла (60), (62) в |
подвижной системе (43) даёт приближён- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
исходные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Для получения точных ре- |
||
ные результаты |
с погрешностью |
|
|||||||||||||
зультатов для |
|
и |
|
в подвижной| системе| |
нужно использовать |
||||||||||
(54), (55). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения в эйлеровой (49)–(51) или лагранжевой |
|||||||||||||
форме (9)–(11) (см. с. 36), а |
|
и |
|
вычислять затем по формулам |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|