1 |
2 |
(96) |
|
|
Таким образом, в эфире условиям на поверхности разрыва магнитного и электрического полей соответствуют условия на роторипроизводнуювдольтраектории(кривой,направления) от плотности потокаэфира(производнаяпотраекторииравначасти полной производной по времени, содержащей дифференцирование по пространственным координатам [51, п. 5.5-3, 16.10-8]).
Более точные формулы для условий на поверхности разрыва могут быть получены из интегральной формы обобщённыхуравнений Максвелла, соответствующей обобщённым уравнениям Максвелла в дифференциальной форме (20)–(23), (26)–(29).
7. Вывод закона Био – Савара из уравнений эфира
Рассмотрим задачу о вычислении магнитного поля по электрическому току. Такая задача в случае постоянной плотности эфира рассмотрена в [41–44]. В данном разделе проведено обоб-
щение результатов [41–44]. |
|
|
|||||||
рей |
∙ = 0 |
|
в объёме |
|
(см., например: [15, с. 280–284; 19, с. |
||||
|
Воспользуемся формулой определения векторного поля |
||||||||
при |
× = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по заданному распределению векторного поля вих- |
||||||||
90–95; 51, п. 5.7-3]): |
|
|
|
3( − , − , − ) |
, |
|
|||
( , , ) = |
2 |
|
|
|
(97) |
||||
|
. Эта( , , ) |
|
|
|
|
|
|
||
где – радиус-вектор, проведённый от переменной точки инте- |
|||||||||
( , , ) |
|
|
к рассматриваемой точке с координатами |
||||||
грирования |
|
|
|||||||
формула является чисто математическим утверждением, не опирающимся на какие-либо представления механики сплошной среды. Но доказывается она обычно в литературе по
120
механике сплошной среды и называется обобщением формулы Био – Савара для завихренного объёма несжимаемой среды (см., например: [19, с. 93]). Поле называется индуцированным полем.
Формула для одного бесконечно тонкого шнура (нити), не обязательно совпадающего с вихревой нитью, получается предельным переходом в (97)
= 1 |
|
Γ ( ) ×3 |
|
− ( ), − ( ), − ( ) , |
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
|
Γ |
|
|
|
|
− ( ), − ( ), |
− ( ) |
|
(98) |
|
|||||||||||
|
|
|
( ) = lim→0 |
2 ∙ = |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |→∞ |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
∙ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
lim→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
| |→∞ |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точек ( ) ≡ ( ), ( ), ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
, |
– элемент |
|||||||||||||
тарный отрезок кривой |
|
|
|
с направлением |
|
|||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– параметрическое представление |
|||||||||||
площадипоперечного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/| | |
– элемен- |
|||||||||||
кривой , задающей бесконечно тонкий шнур, |
|
|||||||||||||||||||||
ление |
|
|
, |
( ) |
|
– |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|||||
|
/| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Γ ( ) |
|
|
|
|
сечения |
|
|
шнура,имеющийнаправ- |
||||||||||||||
|
|
|
[15, с. 285]. |
|
|
границы |
сечения |
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
контур |
|
|
|||||||||
|
|
– циркуляция (напряжённость) бесконечно |
тонкого |
|||||||||||||||||||
Γ Если( ) = 2 |
берётся при условии конечной циркуляции |
|||||||||||||||||||||
шнура. |
|
Предел |
||||||||||||||||||||
|
|
нить (или шнур) совпадает с вихревой нитью (или вих- |
||||||||||||||||||||
ревой трубкой), |
то циркуляция является константой и может |
|||||||||||||||||||||
быть вынесена из-под знака |
интеграла [15, с. 285; 19, с. 93]. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
Γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Рассмотрим формулы (97), (98) для векторного поля вида
121
= |
|
× ( ). |
(99) |
|
|
|
Условие несжимаемости такого поля, то есть условие применимости формул (97), (98),
∙ |
= ∙ |
|
|
|
× |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |2 |
|
|
|
|
× ( ) + |
× ( ) |
||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
| |2 |
× ( ) = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
мость поля |
, то |
| | = 0 |
|
|
|
, |
∙ |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Для объёма |
|
|
и нити |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
выполнено, если |
|
|
|
|
|
. Подчеркнём, что при этом несжимае- |
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
есть условие |
|
|
2 |
|
|
, не требуется. |
(100) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= × |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
магнитного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
согласно эфирному определению |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= 4 |
| |2 |
|
3 × |
|
|
× ( ) × ; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= 4 | |2 |
Γ |
|
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |2 |
|
|
|
( ) |
|
|
(101) |
||||||
Γ |
≡ lim→0 |
|
|
× |
|
|
|
× |
∙ = |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
( ) |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
→∞ |
|
|
| |2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
lim→0 |
|
|
|
× ( ) |
∙ |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
( ) |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
122 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 ≡ × × ( ) .
Выражения (100) и (101) представляют собой эфирные аналоги формулы Био – Савара для объёма и нити. Как отмечено
выше, в случае совпадения кривой |
с вихревой нитью поля (99) |
|||||||||||||||||
мулы |
|
|
Γ |
можно вынести из-под знака интеграла. Фор- |
||||||||||||||
циркуляцию |
|
|||||||||||||||||
|
остаются справедливыми и в случае зависящих от времени |
|||||||||||||||||
и В. п. 2 из уравнений эфира получено соотношение (34) |
||||||||||||||||||
|
|
|
× |
|
|
|
|
× |
( ) |
= |
|
total, |
(102) |
|||||
|
|
|
|
|
|
total |
≡ + |
1 |
. |
|
|
|
|
|||||
Данное выражение следует и из4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представления (32). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
total |
|
|
|
(103) |
||
|
|
|
= | |2 |
|
; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||
= |
4 | | |
2 |
Γ |
|
|
3 |
, |
|
= |
lim( )→0 |
|
|
total ∙ . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
→∞ |
( ) |
||||||
Обозначив полный ток в нити |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
total ≡ lim( )→0 |
|
|
total ∙ = |
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
→∞ |
( ) |
|
|
|
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
123 |
|
|
|
|
|
||
находим |
|
= | |2 |
total |
3 . |
|
||||||||
|
|
|
(104) |
||||||||||
|
|
total |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из-под |
|
постоянен вдоль кривой |
, то его можно вынести |
||||||||||
Если ток |
|
|
|||||||||||
|
знака интеграла. Такая ситуация имеет место, например, |
||||||||||||
total = Γ /(4 ) |
|
|
|
Γ |
|
|
|
|
|
||||
если кривая |
совпадает с вихревой нитью поля (99), так как |
||||||||||||
|
|
, а циркуляция вихревой нити постоянна. |
|||||||||||
производные| | ≈по |
|
времени обращаются в ноль)total = |
(частные |
||||||||||
Для |
|
|
и установившегося процесса |
||||||||||
формулы (103), (104) выражают известный из эксперимента закон Био – Савара для постоянных токов (см., например: [28, с. 215])
= |
|
|
|
3 |
; |
|||
= |
|
|
|
3 |
. |
|||
Важно подчеркнуть, что здесь формулы (103), (104) получены теоретически на основе уравнений эфира. То есть эти формулы, как и уравнения Максвелла, являются следствиями общих законов движения эфира (4)–(6). Причём (103), (104) обобщают
классический закон Био – Савара на случай скоростей эфира, от- |
|||||||||
личных от скорости света, и переменных во времени токов. |
|||||||||
0 |
Выражения (102)–(104) в области их применимости ( |
|
|||||||
этом |
можно |
|
|
|
|
|
|
||
|
) можно использовать для расчёта магнитного поля по |
плотно- |
|||||||
|
|
| | ≈ |
|||||||
сти |
и скорости |
|
эфира, заданным в объёме |
|
или нити |
. При |
|||
|
|
|
использовать готовые результаты из [19, с. 93–95; |
||||||
15, с. 284–298; 28, с. 216–220; 18, гл. 2]. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
124 |
|
|
|
|