2

= −( ).

(110)

сутствии внутренних границ. Пусть на бесконечности скорость

( ) ≠ 0

× ( )

эфира и внешние силы стремятся к нулю, а вихревая область

ограничена или

быстро убывает на

беско-

нечности.

×

= ,0

ских

Если определить импульс среды как интеграл по некоторому

объёму от

(здесь

– плотность эфира в механиче-

единицах, см. п. 1.1 и 20.1), то этот интеграл может зависеть

=

× ( × ) +

(111)

1

2 × ( × ) ,

2

1/2

1

справедливоевтрёхмерномпространстве(вплоскомслучаевме-

сто

стоит ). Здесь

– внешняя нормаль к поверхности ,

ограничивающей область .

для =

Применим тождество

(111)

+

=

2

× × ( )

1

× ( × ) .

2

Получаем, что импульс эфира в объёме

, стоящий в левой

части равенства,

представляется в виде

полусуммы объёмного

( ) ≡ 2

× × ( )

(112)

тона. Существование интеграла по всему пространству обеспе-

( ) ≠ 0

условием ограниченности вихревой

области

×

( )

или требованием соответствующего поведения ×

чивается

ным образом в результате

1/2

( )

на бесконечности.

Подчеркнём, что множитель

возникает в

естествен-

ства (111).

использования интегрального тожде-

133

Вычислим производную по времени от

по формуле диф-

ференцирования интеграла, зависящего от параметра( )

, с учётом

того, что рассматриваемый объём постоянен по

=

× × ( ) =

2

1

2

× ×

.

движения эфира (23) и учтём, что × ( ) = 0

Частную производную по времени выразим из уравнения

=

× × + − ( ∙ )( ) =

2

1

1 × ( × ) −

2 × × ( ∙ )( ) .

2

( ∙ )( )

Воспользуемсявекторнымтождеством(111) при = и =

= − 2 × ( × ) −

(113)

1

( ∙ )( ) +

× ( ∙ )( ) × .

2

3

(

∙ )( ) =

) =

3

∂

(

=1

=1

∂

∂

3

3

=

(114)

=1

=1

∂

3

3

∂

=1

=1

∂

=

=13

∙

( ) ,

1,2,3 ≡ 1 1 + 2 2

+ 3 3

системы координат, =

где , – единичные

векторы

декартовой.

Последнее равенство по теореме о градиенте [51, с. 175] сво-

дится к поверхностному интегралу. Тогда

=

( ∙ )( ) =

=1

∙

=13

(

∙ )

.

Таким образом, все члены в правой части (113), кроме пер-

ются в ноль, так как по

вого, представляют собой поверхностные интегралы. Эти инте-

гралы при расширении области

до всего пространства обраща-

предположению функции

и

быстро

убывают на бесконечности. Поэтому в пределе

получаем следу-

= ∞ .

(115)

Сравнивая выражение (115) со вторым законом Ньютона, за-

ключаем, что

действительно можно интерпретировать как

импульс неограниченного( )

объёма эфира при наличии непотен-

циальной силы . Из вывода формулы (115) ясно, что потенци-

= 0

( )

альные силы не меняют вихревой импульс эфира.

Если

, то импульс эфира

сохраняется во времени.

Учитывая определение (20)

индукции магнитного поля ,

получаем из (112), что вихревой импульс эфира представляет со-

бой момент магнитного поля, находящегося в объёме :

( ) = ,0 2

×

.

(116)

,

( ) = 2

× × ( ) .

(117)

=

Вычислим силу, действующую на завихренное течение в

лагая( , ,)что эта скорость

объёме

при сообщении в точках

внешней скорости

заданной относительно (дополнительной к

), предпо-

димость

приводит к смещению частиц среды (ла-

= 0

и на бесконечности потребуем от

гранжевых частиц). Вне

выполнения условия

и поведения, обеспечивающего схо-

В такой постановке задачи для получения закона изменения

формулы

∆

следуетрассматривать приращение

,возникающеезама-

цированием по времени

+

. Использование

лое( ) время

при наличии заданной скорости( )

(117) с заменой

на

и последующим дифферен-

интеграла,

зависящего от параметра ,

было бы недостаточным, так как не учло бы эффекта смещения

тарного объёма ∆ имеем+ ∆

∆

частиц среды в результате приложения скорости .

В момент времени

для вихревого

импульса элемен-

∆

+ ∆

=

+ ∆

×

× = +∆ ∆.

Применим

формулу Тейлора

2

∆( + ∆) = 2

+

∆

+ (∆2) ×

× +

∆ + (∆

2

)

∆

=

(118)

1

( )∆ +

1

2

×

×

2

× ×

∆ ∆

+

1 × × ( )∆ ∆ + (∆2).

По

2

постановке задачи рассматривается смещение в резуль-

тате сообщения лагранжевой частице скорости

относительно

имеющейся скорости

(дополнительной к

Кроме того, по

).

силы за время

учитывается смещение

смыслу вычисляемой

, то есть сме-

только за счёт мгновенного

приложения скорости

∆

(118) имеем

( )/

= .

Поэтому в формуле

щение относительно текущего положения.

138

+ ∙

= + .

Тогда, с

× ( ) = 0

:

учётом

=

1

∆

× × − ( ∙ )( ) ∆ +

2

1

× × (

)∆

+ (∆).

изменение

∆ → 0

Устремляя2

, суммируя по всему объёму и обозначив

вихревого импульса во времени за счёт сообщения

внешней скорости точкам объёма символом

получаем

≡

,

= 2

× ( × ) −

139

2

× × ( ∙ )( ) +

1

× × ( ) .

2

тождество (111) при = и = ( ∙ )( )

Применим в первых двух членах правой части векторное

=

−2

× ( × ) −

( ∙

)( )

+ 1

× ( ∙ )( )

×

+ 1

2

× × ( ) .

2

(

∙ )( )

последним тождеством из

таблицы 5.5-1 в [51]

Воспользуемся для

1

∙ ( )

× ( × ) + ( ∙ ) − ∙ ( ∙ ) + ∙

2

− ×

( × )

− × × ( ) .

ремы о дивергенции (в средней точке выносятся функции

и

по аналогии с выкладками в (114)).

При стремлении объёма

к объёму всего пространства все

Поэтому в пределе

поверхностные интегралы

обращаются в ноль, так как по пред-

положению функции

,

,

быстро убывают на бесконечности.

получаем

× × ( ) +

= ∞

+

(119)

1

×

( × ) .

Интегрирование2в третьем

и четвёртом членах оставлено по об-

ласти ненулевой завихренности

, так как по условию вне этой

области подынтегральные

выражения равны нулю или быстро

убывают.

В случае

, рассмотренном в [17, п. 3.7], формула

(119)

переходит в формулу (14) из [17, с. 77].

× = 0

роны, согласно второму закону Ньютона, изменение количества

чение эфира в объёме

при

( )

движения равно приложенной силе. Поэтому правая часть фор-

скорости :

собой силу

мулы (119) представляет

, действующую на те-

сообщении в точках

внешней

( ) = ∞

+

× × ( ) +

(120)

1

×

( × ) ,

2

141

ние силы

( )

где

– непотенциальная внешняя сила.

Силу

в формуле (120) можно трактовать как обобще-

Жуковского на случай трёхмерного объекта, вне и

внутри которого имеется плотность потока среды

. Пример

использования этой силы в электротехнике

приведён в п. 18.11.

Выражение (120) позволяет определить обобщённую силу

Жуковского в элементе объёма

×

( × )

= + ×

× ( ) + 2

(121)

Вихревой импульс и закон его

к

.

и её объёмную плотность как отношение

с вихревой

нитью),

изменения в случае приложе-

ния

к одной изолированной нити

(не обязательно совпадаю-

( ), ( ), ( )

заданной параметрически

щей

3.8],

, получается с помощью предельного перехода( ) ≡в

( ) [17, п.

интегралах (112), (119), (120), рассмотренных для области, пред-

ставляющей собой шнур с поперечным сечением

( )

= 2

Γ ( ) × ,

( ) = ∞

+ Γ

( ) × +

(122)

1

Γ ( )

× ,

Γ

2

× (

) ∙ =

( ) ≡

lim→0

( )

( )

| |→∞

lim( )→0

∙ ,

Γ

| |→∞

( )

( × ) ∙

=

( ) ≡

lim→0

( )

( )

| × /2|→∞

lim→0

∙ ,

( )

( )

| × /2|→∞

2 ≡ × ( )

чения шнура, /| |

элементарный отрезок кривой с

где

,

–

тур границы

,

,

и

/| |

( )

направлением

( )

– элемент площади поперечного се-

(напряжённости)

Γ ( )

Γ ( )

– кон-

имеющий направление

,

при условии

[15, с. 285].

Γ

– циркуляции

( ) = 2

бесконечно тонкого шнура. Пределы берутся

Γ Если( ) = ( × )

циркуляций

,

конечных

Γ

19, с. 93]

нить (или шнур) совпадает с вихревой нитью (или вих-

ревой трубкой) поля

, то циркуляция

является констан-

( ) = 2 Γ

× ,

(123)

( ) = + Γ

× + 1

Γ × .

∞

2

=

= 0 × = 0

( )

в частном случае

,

Последняя формула для

,

принимает вид

143

( ) = Γ

× ,

(124)

( )

2 ≡ × ,

Γ ≡ lim→0

∙ ,

| |→∞

( )

( )

что соответствует результату [19, п. 5.8].

Силу

вформулах(122)–(124) можнорассматриватькак

обобщение силы Жуковского на случай приложения скорости

к крылу, имеющему форму кривой

в направлении, перпенди-

кулярном к плоскости профиля

крыла.

Направление силы в формуле (124) определяется знаком

Γ

и ориентацией приложенной внешней

циркуляции скорости

скорости .

Согласно третьему закону Ньютона, со стороны области

− ( )

сила

(или

) на среду действует противоположно направленная

. Поэтому формулы (120)–(124) позволяют вычислять

в ней

и

на окружающую среду, в

силу, действующую со стороны области

(или

) с заданными

результате мгновенного

приложения к точкам этой области внешней скорости .

В самом общем случае для детального расчёта

взаимодей-