Геометрія

Зверніть увагу: радіус вписаного в ромб кола (ON) — це висота прямокутного трикутника BOC, яка проведена з вершини прямого кута і має всі властивості висоти прямокутного трикутника, що проведена з вершини прямого кута.

Теорема 3. Трапецію тоді й тільки тоді можна описати навколо кола, коли сума її основ дорівнює сумі бічних сторін (рисунок нижче зліва). Центр цього кола — точка перетину бісектрис кутів трапеції. Радіус дорівнює половині висоти трапеції. У випадку рівнобічної трапеції центр вписаного кола лежить на середині висоти трапеції, яка проходить через середини основ (рисунок справа). Бічна сторона трапеції у цьому випадку дорівнює її середній лінії.

Розв’язування трикутників

Теорема косинусів

Теорема (косинусів). Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

У трикутнику, зображеному на рисунку, за теоремою косинусів: c2 = a2 +b2 −2 a b cosγ.

a γ b

α

β c

272

планіметрія. Розв’язування трикутників

Теоремукосинусівзручнозастосуватидлярозв’язування таких задач.

1.Знайти сторону трикутника, якщо відомі дві інші сторони й кут між ними.

2.Знайти косинус кутів трикутника, а отже, і самі кути, якщо відомі три сторони трикутника, за формулою

cosγ = a2 + b2 −c2 .

2ab

Теорема косинусів дає можливість сформулювати важливі висновки.

1.Відомо, що гострий кут має додатний косинус, а тупий — від’ємний. Отже, квадрат сторони, яка лежить проти тупого кута, більший за суму двох інших сторін, а квадрат сторони, яка лежить проти гострого кута, менший, ніж сума двох інших сторін.

2.Якщо відомі три сторони трикутника, то можна зробити висновок про його вид (гострокутний, тупокутний, прямокутний). Для цього треба порівняти квадрат найбільшої сторони із сумами квадратів двох інших сторін. Якщо квадрат найбільшої сторони трикутника більший, ніж сума квадратів двох інших сторін, трикутник тупокутний, якщо величини рівні — прямокутний, якщо перша величина менша — гострокутний.

3.У випадку, коли трикутник прямокутний, теорема косинусів для сторони, що лежить проти прямого кута, перетворюється на теоре­ ­му Піфагора.

4.Із теореми косинусів випливає, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.

На рисунку AC2 + BD2 =2( AB2 + AD2 ).

BC

AD

273

Геометрія

5. Формула довжини медіани трикутника: у трикутнику,

6. Формула довжини бісектриси трикутника: у трикутнику, зображеному на рисунку, lc = ab−a1b1 .

7.Формула висоти трикутника: на рисунку нижче зліва зображена висота в гострокутному трикутнику, на рисунку справа — у тупокутному.

Теорема синусів

Теорема  1  (синусів). Сторони трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів. У трикутнику, зображеному

274

планіметрія. Розв’язування трикутників

a γ b

α

β c

Теорема 2. якщо R — радіус кола, описаного навколо трикутника, то

де a — сторона трикутника, а α — протилежний цій стороні кут.

Теорема 3. У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона, проти більшої сторони лежить більший кут.

Ця теорема обґрунтовує твердження 2 (висновок), що наведене після теореми косинусів­ .

Дійсно, вид трикутника можна визначити, записавши теорему косинусів для його найбільшої сторони, тому що протилежний кут буде найбільшим. А якщо в трикутнику є прямий чи тупий кут, то він є найбільшим.

Розв’язування трикутників

Розв’язування трикутників полягає у знаходженні невідомих сторін і кутів трикутника за відомими його сторонами та кутами.

Результати в таких задачах наближені, тому що для більшості значень кутів наближеними є значення їх синуса і косинуса.

Задача 1. Розв’язати трикутник за стороною й двома прилеглими кутами.

На рисунку в трикутнику дано: a; β; γ. Знайти: α; b; c.

a γ b

α

β c

275

Геометрія

Розв’язання

1)α =180°−(β+ γ) (за теоремою про суму кутів трикутника).

2)За теоремою синусів:

Задача має розв’язання завжди, коли 0°<β+ γ <180°, причому цей розв’язок буде єдиним.

Задача 2. Розв’язати трикутник за двома сторонами й кутом між ними.

Дано: a; b; γ. Знайти: c; α; β.

Розв’язання

1)За теоремою косинусів: c2 = a2 +b2 −2abcosγ;

c = a2 +b2 −2abcosγ .

2) За теоремою косинусів:  cosα = b2 + c2 −a2 .

2bc

За таблицями або за допомогою калькулятора знаходимо наближене значення α.

3) За теоремою про суму кутів трикутника:

β =180°−(α+γ).

Задача завжди має розв’язання, причому розв’язок буде єдиним.

Зверніть увагу: при розв’язанні задачі 2 для знаходження невідомих кутів можна користуватися теоремою синусів. Але тоді доцільно починати з того невідомого кута, який буде меншим, тобто лежить проти меншої сторони. Цей кут обов’язково буде гострим, тобто за значенням його синуса можна буде визначити єдине значення кута.

276

планіметрія. Розв’язування трикутників

Задача 3. Розв’язати трикутник за двома сторонами й кутом, протилежним одній із цих сторін.

Дано: a; b; α. Знайти: c; β; γ.

Розв’язання

1) За теоремою синусів:

За таблицями або за допомогою калькулятора знаходимо наближене значення β.

Зверніть увагу: на цьому етапі можна одержати sinβ >1. Тоді задача не має розв’язків. Якщо за умовою a = b, α = 90° або α = 0°, або α 90°, задача теж не має розв’язків.

Якщо ми отримаємо 0 < sinβ <1, задача матиме два розв’язки, тому що одне й те саме значення sinβ буде у двох кутів — тупого й гострого, які в сумі дають 180°. (За тотожністю sin(180°−α) = sinα.) Подальше розв’язання тоді проводять окремо для кожного значення β.

2)За теоремою про суму кутів трикутника:

γ=180°−(α+β).

3)За теоремою синусів:

Задача 4. Розв’язати трикутник за трьома сторонами. Дано: a; b; c.

Знайти: α, β, γ.

Розв’язання

1) За теоремою косинусів:

Знаходимо наближені значення α і β.

2)За теоремою про суму кутів трикутника:

γ=180°−(α+β).

Задача не матиме розв’язків, якщо найбільша з даних сторін не менша за суми двох інших. В інших випадках задача має один розв’язок.

277

Многокутники

Ла м а н о ю A1 A2 A3 ... An називається фігура, яка складається з точок A1,  A2 ,  A3 ,..., An і відрізків, що їх послідовно сполучають. Точки A1,  A2 ,  A3 , ...,  An називають-

ся в е р ш и н а м и л а м а н о ї, а відрізки A1 A2 , A2 A3 , ...,

An−1 An — л а н к а м и л а м а н о ї.

Ламана називається п р о с т о ю, якщо вона не має самоперетинів. Д о в ж и н о ю л а м а н о ї називається сума довжин її ланок.

На рисунку нижче зліва зображена проста ламана, на рисунку нижче справа — ламана із самоперетином.

Теорема 1. Довжина ламаної не менша за довжину відрізка, що сполучає її кінці.

Ламана називається з а м к н е н о ю, якщо її кінці збігаються. Проста замкнена ламана називається м н о г о к у т­ н и к о м, якщо її сусідні ланки не лежать на одній прямій.

Вершини ламаної називаються в е р ш и н а м и м н о ­ г о к у т н и к а, ланки ламаної — с т о р о н а м и м н о г о ­ к у т н и к а.

Відрізки, що сполучають несусідні вершини многокутника, називаються д і а г о н а ­л я м и.

Многокутник, що має n вершин, називається n-к у т­

н и ­к о м. n-Кутник має n (n − 3) діагоналей.

2

278

планіметрія. Многокутники

Многокутник називається о п у к л и м, якщо він лежить в одній півплощині відносно будь-якої прямої, що містить його сторону.

На рисунку нижче зліва зображений неопук­ ­лий многокутник, на рисунку справа — опуклий.

шині називається кут, утворений сторонами многокутника, що сходяться в цій вершині­ .

Теорема 2. Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює

180°(n−2).

З о в н і ш н і м к у т о м о п у к л о г о м н о г о к у т н и к а

при даній вершині називається кут, суміжний із внутрішнім кутом многокутника при цій вершині.

Теорема 3. Сума зовнішніх кутів опуклого многокутника, узятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360° (див. рисунок).

A6 A5

279