планіметрія. Чотирикутники

Прямокутник

П р я м о к у т н и к — це паралелограм, у якого всі кути прямі.

Властивості прямокутника

Оскільки прямокутник є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма і ще деякі інші.

Теорема. Діагоналі прямокутника рівні.

На рисунку AO = OC = BO = OD. AC = BD.

AOB = COD; BOC = DOA — рівнобедрені.

BC

O

AD

Ознаки прямокутника

Теорема 1. Якщо в чотирикутнику всі кути рівні, то він є прямокутником.

Теорема 2. Якщо в чотирикутнику є три прямі кути, то він є прямокутником.

Теорема 3. Якщо в паралелограмі є прямий кут, то паралелограм є прямокутником.

Теорема 4. Якщо в паралелограмі діагоналі рівні, то він є прямокутником.

Ромб

Ро м б — це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Властивості ромба

Оскільки ромб є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма і деякі інші.

243

Геометрія

Теорема 1. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

На рисунку ABCD — ромб;

AB = BC = CD = DA;  AC BD;

ABO =CBO = ADO =CDO;

BAO =DAO =BCO =DCO; KO = ON.

Теорема 2. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівні прямокутні трикутники.

Теорема 3. Висоти ромба рівні:

Ознаки ромба

Теорема 1. Якщо в чотирикутнику всі сторони рівні, то він є ромбом.

Теорема 2. Якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то він є ромбом.

Теорема 3. Якщо в паралелограмі діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом.

Теорема 4. Якщо в паралелограмі діагональ є бісектрисою кута, то паралелограм є ромбом.

244

планіметрія. Чотирикутники

Квадрат

К в а д р а т — це прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Властивості квадрата

Оскільки квадрат є паралелограмом, прямокутником

іромбом водночас, маємо:

1)у квадрата всі сторони рівні;

2)у квадрата всі кути рівні;

3)діагоналі квадрата рівні, перетинаються під прямим кутом, діляться в точці перетину навпіл, є бісектрисами його кутів;

4)діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні рівнобедрені прямокутні трикутники­ .

На рисунку ABCD — квадрат. AB = BC = CD = AD;

A = B = C = D; AC = BD; AOB = BOC = COD = = AOD.

B C

O

AD

Ознаки квадрата

Теорема 1. Якщо в чотирикутника всі сторони і всі кути рівні, то він є квадратом.

Теорема 2. Якщо діагоналі прямокутника перетинаються під прямим кутом, то він є квадратом.

Теорема 3. Якщо діагоналі ромба рівні, то він є квадратом.

245

Геометрія

­називаються о с н о в а м и т р а п е ц і ї, а дві інші — б і ч ­ н и м и с т о р о ­н а м и.

Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається р і в­ н о б і ч н о ю (див. рисунок нижче зліва). Якщо одна з бічних сторін трапеції перпендикулярна до основ, трапеція називається п р я м о к у т н о ю (рисунок посередині).

Теорема 1. Кути трапеції, які прилеглі до однієї бічної сторони, у сумі дорівнюють 180°.

Відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції,

перпендикулярної до основ трапеції з кінцями на основах трапеції. Найчастіше висоту проводять через вершини верхньої основи або через точку перетину діагоналей (рисунок нижче зліва). Усі висоти трапеції рівні між собою­ .

Бісектриса кута трапеції, якщо вона перетинає основу трапеції, відтинає від неї рівнобедрений трикутник (рисунок справа).

BF C

A N M P D

246

планіметрія. Чотирикутники

Властивості рівнобічної трапеції

1.У рівнобічній трапеції кути при основах рівні (рисунок нижче зліва).

2.У рівнобічній трапеції діагоналі рівні.

3.У рівнобічній трапеції діагоналі створюють з основою рівні кути.

4.У рівнобічній трапеції діагоналі, перетинаючись, утворюють два рівнобедрені трикутники, основами яких є основи трапеції (рисунок справа).

B C B C

O

прямокутник.

BC

Зверніть увагу: якщо AB = CD (див. рисунок), то

AN = KD = AD − BC :

2

BC

247