4. Математичний підхід – Лозанська школа
Гранична корисність по Вальрасу.
Леон Вальрас став засновником так званої Лозаннської школи маржиналізму. Його праця «Елементи чистої економічної науки», яка вийшла у 1874 р., ознаменувала початок серйозного використання математики у сфері економічного знання. Прагнення математизувати всяке економічне розмірковування – характерна риса Лозаннської школи і її послідовників. Вальрас стверджував, що тільки з допомогою математики можливо доказати економічні теорії чітко і ясно.
Те, що було названо граничною корисністю, Вальрас назвав рідкістю. Визначив її, як убиваючу (спадаючу) функцію від споживаної кількості (тобто чим більше зростає споживання якогось блага, тим менше стає величина його рідкості).
Вальрас встановив, що гранична корисність досягається тоді, коли останні порції коштів, що витрачаються споживачем (при даному доході), принесуть йому однакове задоволення від усіх споживаючих ним благ (треба згадати другий закон Госсена). При цьому споживач сам обирає, яке благо для нього більш цінніше (А чи Б, або В). Згідно з цим вибором він купить кожного блага таку кількість, при якій отримає однакове задоволення від останньої порції товару А, Б і В. Тільки тоді сукупність усього купленого ним дасть йому максимальне загальне задоволення.
Коли усі споживачі досягають максимуму у задоволенні своїх потреб (з урахуванням фіксованого доходу кожного з них, та інших факторів), настає економічна рівновага, говоре Вальрас.
Далі він робить крок до дослідження того, що представляє собою загальна ринкова рівновага. Річ у тому, що кожний споживач і виробник не діють ізольовано, у відриві від усіх своїх колег і процесів, які відбуваються в економіці. В економіці усі процеси взаємопов'язані. (Приклад 1. В нашій країні у 60–70х роках зросли витрати держави на житлове будівництво. Наслідком цього було формування підпільних книготоргових організацій. Це відбулося тому, що задоволення потреби населення у житлі визвало зростання потреби мати домашні бібліотеки, звідси високий попит на книги. Але ціни на книги і обсяг книговидання не росли відповідно попиту, що привело до дефіциту книг у державній торгівлі.
Приклад 2. Підвищується вдвічі зарплата шахтарів Кузбасу, а на одній з трикотажних фабрик впали прибутки і нічим платити зарплату. Чому? Коли в шахтарів стало більше грошей, це спричинило підвищення цін на всі товари у цьому регіоні. В тому числі зросли ціни на жіночі колготки. Але в шахтарських регіонах переважна кількість жінок – це лікарі, вчителя і т. п., їх зарплата залишилася незмінною. Тому вони стали набагато менше купувати, а московська фабрика, яка постачала туди продукцію втратила прибутки).
Поняття взаємозамінності і взаємодоповнюваності
Економісти розрізняють два типи взаємозалежності, які корисно знати: взаємозамінність і взаємодоповнюваність. Кожний з них може бути і в області попиту, і в області виробництва.
(Наприклад: взаємозамінні споживчі блага – плащ і парасолька, свинина і яловичина і т. д. Взаємозамінні ресурси – цегла і бетон). Взаємозамінність дуже рідко буває повною, тому зазвичай один з товарів має переваги стосовно іншого в залежності від оцінки покупця.
Взаємодоповнюючі блага – це такі, які люди зазвичай бажають або повинні вживати і використовувати разом (наприклад: відеомагнітофон і відеокасети). Що можна сказати про землю, працю і капітал? Класики вважали ці три ресурси взаємодоповнюючими, а неокласики (починаючи з Тюнена) стали розглядати їх як в деякій мірі взаємозамінні.
Економісти виражали більш чітке визначення обох типів залежності. Стосовно товарів один або інший тип залежності визначається у відповідності з тим, як змінюється попит на один товар при зміні ціни іншого (якщо вважати дохід споживачів незмінним).
Якщо ціна одного товару знижується і при цьому зменшується попит на другий товар, значить, вони обидва взаємозамінні. (Наприклад: при зниженні цін на м'ясо, знижується попит на макарони).
Якщо зниження ціни одного товару викликає зростання попиту на другий, значить, ці товари взаємодоповнюючі. (Наприклад: зниження цін на відеомагнітофони приводить до росту попиту на відеокасети).
Все вище сказане має за мету показати, що якщо нам потрібно отримати дійсно вірну функцію попиту (або пропозиції) для товару «ікс», то в цю функцію треба включити не тільки ціну даного товару, але й ціни усіх товарів.
Тепер ми можемо перейти до одного з найголовніших теоретичних досягнень Вальраса – його теорії загальної ринкової рівноваги.
Теорія загальної ринкової рівноваги Вальраса.
Постановка задачі:
Товари |
Ресурси |
Кукурудза (к) |
Земля (з) |
Дрова (д) |
Труд (т) |
Віскі (в) |
|
Треба визначити: при яких цінах буде досягнута рівновага попиту і пропозиції по усім трьом товарам і яка кількість кожного товару відповідає стану рівноваги?
Вальрас вводе деякі позначення:
А – витрати любого ресурсу на виробництво одиниці любого продукту;
Аіj – витрати ресурсу і на виробництво одиниці продукту і (Азк – витрати землі на виробництво кукурудзи);
Xj – кількість одиниць продукту j;
Кі – кількість одиниць ресурсу і;
Рj – ціна одиниці продукту j;
Vі – ціна одиниці ресурсу і.
Використовуючи ці величини ми можемо записати головні залежності нашої економіки.
Візьмемо спочатку обмеження по ресурсам:
Азк Хк+Азд Хд+Азв Хв=Rз
Атк Хк+Атд Хд+Атв Хв=Rт (1)
Ми знаємо, що попит на товар – це якась функція від усіх цін
Хк = Fк (Рк, Ро, Рв, Vз, Vт)
Хд = Fд (–) (2)
Хв = Fв(–)
Ми, приймаємо (так як на острові), що ціна товару дорівнюється сумі витрат його виробництва.
АзкVз + АткVт = Рк
АздVз + АтдVт = Рд (3)
АзвVз + АтвVт = Рв
Нам залишилося тільки записати функцію пропозиції ресурсів (факторів) виробництва, (аналогічно функції попиту).
Rз = Gз (Рк, Рд, Рв, Vз, Vт)
Rт = Gт (Рк, Рд, Рв, Vз, Vт) (4)
Вся сумарна виручка від продажу усіх (трьох) продуктів є сумою усіх (двох) факторів, що використовуються на острові.
Ось що виходить;
РкХк + РдХд + РвХв = VзRз + VтRт (5)
Підставимо значення Х з рівняння (2):
РкFк + РдFд + РвFв = VзGз + VтGт ( 6)
Якщо прийняти до уваги, що існують не три продукти і два фактори, то:
(7)
А якщо згадати, що ресурси на зміні виступають самі як товар нічим не відрізняються від продуктів, тому замінимо j на I, а s=n+m
(8)
Про що говорить цей закон? Закон Вальраса стверджує, що у стані ринкової рівноваги сукупний попит дорівнює сукупній пропозиції. Вальрас включив у перелік товарів не тільки споживчі блага і фактори виробництва, але також і гроші. Вираження типа (8) фактично представляє собою систему рівнянь.
Заслуга Вальраса не у тому, що він вирішив проблему, а у тому, що він її поставив. Завдяки математичній формулюванню умов ринкової рівноваги стало можливим досліджувати проблему строгими методами.
Наступні вчені задавалися питанням про те, чи існує єдине рішення системи Вальраса з невід'ємними коренями. Економічно це означає: чи можлива повна рівновага на ділі? Наступне запитання: якщо ринкову рівновагу можливо досягти, то може вона бути стійкою і за яких умов?
Не треба також забувати, які умови були закладені у рівняння ринкової рівноваги по Вальрасу:
1) технологічні коефіцієнти (а) незмінні;
2) обсяг застосування кожного ресурсу обмежений визначеним розміром (і);
3) функції попиту на кожний товар незмінні, та ін.
Сукупність усіх цих умов означає, що в економіці, яку описують рівняння рівноваги, відсутній технічний прогрес, немає запасів невикористаних ресурсів, не виникає нових видів товарів і послуг. Тобто списується повністю статична модель. Крім того, суттєвою умовою рівноваги, по Вальрасу, є вільна конкуренція в усіх сферах економіки. Однак все це не знецінює ідей Вальраса. Головне, що вчені могли тепер оговорювати різні сторони проблеми і досліджувати результати і наслідки цих змін для моделі ринкової рівноваги.
Одна особливість Вальрасової теорії залишилася незмінною і невід'ємною. Модель Вальраса описує ринкову рівновагу в умовах повної зайнятості. Крім того теорія Вальраса внесла ясність у вічні питання економічної науки: звідки береться цінність господарських благ, як виникає прибуток на капітал і чому? Вальрас каже: витрати виробництва (розходи факторів і їх оцінка), доходи (винагорода факторів), оцінки товарів на ринку (граничні корисності), попит, пропозиція, обсяги виробництва… – все визначається на ринку разом і одночасно.
Теорія Вальраса дала також імпульс для розвитку теорії добробуту. Тобто, як співвідносяться ринкова рівновага з умовами максимального задоволення потреб населення?
Модель оптимального стану В. Паретто;
Вільфредо Парето (1848–1923) був обраний Вальрасом у якості свого наступника на кафедрі політичної економії Лозаннського університету з 1893 року. У 1896–1897 Парето випустив свій двохтомний «Курс політичної економії», а у 1900 р – «Підручник політичної економії». В першій з цих робіт він, головним чином, розглядає теорію загальної рівноваги Вальраса.
Сам Вальрас сподівався, що коли-небудь його рівняння будуть вирішені вченим. Парето справедливо думав, що скласти і вирішити систему з декількох мільйонів рівнянь не тільки дуже важко, але й неможливо. Не тому, що їх дуже багато, а тому, що змушені округлення чисел і приблизність оцінок просто не дадуть необхідної точності ділення. Але рівняння ринкової рівноваги не тільки можливо вирішити, говорив Парето, вони вирішуються і вирішуються постійно. Тільки вирішує їх не вчений у кабінеті, а сам ринок і мільйони його учасників.
Парето продовжує аналіз стану ринкової рівноваги і приходить до наступних висновків. Загальна ринкова рівновага досягається в результаті того, що кожний споживач прагне отримати максимум корисності при даних цінах і даному рівні доходу, а кожний виробник прагне отримати максимум доходу при даних технологічних коефіцієнтах в умовах вільної конкуренції. В кінцевому рахунку всі разом знаходять таке рішення системи Вальрасових рівнянь, при якому попит і пропозиція урівноважуються по всім ринкам товарів, факторів, послуг.
В цілому Парето розмірковував таким чином: припустимо, існують два індивіда – А і В, а також фонд двох споживчих товарів – Х і У. Очевидно, що серед великої кількості наборів для кожної з вказаних осіб мається група таких, які дають індивіду рівне задоволення. Така група наборів представляє геометричне місце точок, які збігаються в криву байдужості (рис).
Чим далі розміщена крива від початку координат, тим більш високому ступеню задоволення вона відповідає. На якій кривій знаходиться А і В, це залежить від доходу кожного з них.
Тепер перейдемо безпосередньо до задачі. Суттєвою умовою є те що А і В-конкуренти. Тобто кожний з них бажає досягти максимуму задоволення, тобто положення ЗА або 3В.
Але вся штука в тому, що фонд благ Х і У обмежений. Тому, якщо А зміг досягнути положення ЗА, то В опиниться в ситуації 1В. І навпаки.
Ми розглядаємо випадок вільної конкуренції, тобто ні в А ні в В один перед одним немає ніяких переваг. Тому мета задачі – відшукати умови, при яких конкуренти приходять до рівноваги.
Тепер використаємо графічну модель, яку називають діаграмою Еджуорта – Боулі (рис).
Оскільки А і В-конкуренти за блага з одного і того ж фонду, то їх інтереси взаємно протилежні. Ця обставина зображена тим, що їх координатні системи знаходяться у дзеркальному відображенні відносно один одного. Відстань від ОА до ОВ така, що створений прямокутник представляє весь фонд благ Х і У, не більше не менше.
Зрозуміло, чому з усіх можливих кривих ми обрали саме такі, які попарно торкаються одна одну? Бо якщо А знаходиться, скажімо у ЗА, то В більше не має де знаходитися крім у 1В. Чому? Тому, що ще ближче до ОВ – немає сенсу, а ще далі від ОВ його вже не пускає А.
Лінію, яка проходить через усі точки торкання (дана пунктиром), Еджуорт назвав кривою угод. Будь-який рівноважний варіант, будь-яка точка рівноваги може знаходитися тільки на кривій угод.
Звідси, по суті, і почав Парето.
На рис. ми зобразили фрагмент мал. Пари 1В-ЗА; 2В‑2А – дещо здвигнуті так, щоб були ближчі один до одного (зрозуміло, що це можна було б намалювати і на рис.).
Заштрихована фігура представляє таку множину наборів Х і У, яка ще може бути розподілена між А і В без шкоди для кожного з них. Парето пояснює, цю модель шляхом ряду досить тонких розміркувань. А потім він вказує, як і чому точки Р1 і Р2 повинні зближуватися, доки криві байдужості для А і В не приймуть положення ліній 2А і 2В на попередньому рис. Це положення відповідає точці торкання РО. Тепер вже не один з них не може поліпшити своє положення без шкоди для іншого. Це і є точка оптимуму.
Здавалося б (див. рис.), пара ЗА‑1В теж повинна відповідати оптимуму. Але у тому й річ, що ні. Парето використовує поняття норми заміщення і показує, що при любому положенні пар кривих норми заміщення Х на У для кожного з учасників будуть такі, що кожному з них буде вигідніше здвигати свою криву байдужості до точки, яка на рис. зазначена через РО.
Такий стан ринку, при якому ніхто не може поліпшити своє положення, не погіршуючи положення хоча б одного з учасників, називається Парето – оптимальним станом. Воно характеризує найліпший розподіл товарів і ресурсів. Дуже часто замість слів «Парето – оптимальний стан» говорять: оптимум Парето (наприклад в Економічній енциклопедії «Політекономії»).
Пізніше була доказана теорема про те, що загальна ринкова рівновага і є Парето – оптимальний стан ринку. Що це означає? Це означає, що, коли усі учасники ринку, прагнуть кожний своєї вигоди, досягають взаємної рівноваги інтересів і вигод, сумарне задоволення (загальна функція корисності) досягає свого максимуму. І це саме те, про що казав Адам Сміт у своїй роботі про «невидиму руку».
Поняття оптимуму Парето було таким плідним, що знайшло застосування за межами економічної науки. Зараз розробляється теорія Парето оптимальних рішень, як розділ прикладної математики (застосовується у механіці).
Продовження традицій лозанської школи – В. Леонтьєв.
Василь Васильович Леонтьєв народився у 1906 р. у Петербурзі. В 1924 р. закінчив університет і став працювати на кафедрі економічної географії. У 1925 р. виїхав у Германію для продовження навчання і праці над докторською дисертацією в Берлінському університеті. У 1928–1929 роках Леонтьєв – економічний радник уряду Китаю. В 1931 р. отримав запрошення працювати в Національному бюро економічних досліджень США. В 1970 р. був обраний президентом Американської економічної асоціації. У 1979 р. В. Леонтьєву присуджена Нобелевська премія за розробку метода «витрати-випуск» і його застосування при вирішенні економічних проблем.
«Успіхи, які в останній час були досягнуті завдяки застосуванню кількісних методів в економічній теорії і економічній статистиці, оказали глибокий вплив на усі області прикладної економічної науки…
Новий підхід до фундаментальних проблем економічного планування також виник на базі чистої теорії – теорії загальної рівноваги, задачею якої є опис у зжатому вигляді структури і функціонування не окремо взятої фірми, а всього народного господарства в цілому. З точки зору цієї теорії економічну систему можна розглядати як гігантську обчислювальну машину, яка вирішує нескінчений потік проблем кількісного характеру і оптимальний розподіл ресурсів, забезпечення темпів збалансованого росту виробництва і споживання тисяч товарів і т. д.
Подібно любому іншому складному устрою конкурентна економіка може давати збої в стресовій ситуації, яка виникає завжди, коли вона зустрічається з проблемами, які значно відрізнялися від тих, що він вирішував раніше. Тому вирішення проблем досягнення загальної рівноваги, виникаючих перед економічною обчислювальною машиною, може бути полегшено завдяки використанню зовнішнього впливу, тобто планування…
Економічний план можна уявити собі як чисельне рішення конкретної системи рівнянь загальної рівноваги…
Рівняння, з яких складається аналітична система, розподіляється на два види: балансові і структурні. Балансові рівняння просто показують, що в кожний період часу для кожного продукту загальний обсяг його виробництва і загальний обсяг його споживання, іншими словами, загальна величина наявної пропозиції і загальна величина попиту повинні бути рівними.
Однак переважна частина вихідної інформації, що використовується для складання плану, знаходиться в структурних рівняннях. Вони описують кількісне співвідношення між витратами і випуском кожної галузі. Економісти називають ці структурні співвідношення виробничими функціями…
Одним з найбільш зручних методів упорядкування маси первісних даних, призначених для використання в структурних рівняннях, є побудова таблиць міжгалузевих потоків товарів і послуг, які називають також таблицями «витрати-випуск». Перші такі таблиці були складені для американської економіки в середині 1930‑х років. До теперішнього часу вони маються в більш ніж в 40 розвинутих країнах.
Таблиці «витрати-випуск» показують потоки товарів і послуг між різними галузями економіки даної країни… Цифри групуються в таблиці схожі на шахову дошку. Кожен рядок показує розподіл продукції, виробленої окремою галуззю, між усіма іншими галузями, а кожний стовпець – витрати продукції усіх інших галузей в даній галузі. Так, наприклад, в стовпці показуємо потоки товарів і послуг, поглинених автомобільною промисловістю, один показник представляє собою кількість сталі від сталеливарної промисловості, інший – кількість електроенергії. Розділивши кожний з цих показників на обсяг річного випуску автомобілів, ми отримаємо набір коефіцієнтів витрат, які представляють все те, що необхідно для випуску одиниці продукції автомобільної промисловості…
Система рівнянь загальної рівноваги, яка використовує структурну інформацію такого роду, дозволяє плановику і прогнозисту визначити, якими повинні бути випуск і витрати в кожній з багатьох галузей даної економіки, для того, щоб забезпечити виробництво продукту заданого обсягу і структури. Його можна розглядати як результат загального економічного прогнозу…
При наявності багатої кількості конкуруючих один з одним технологій в декількох галузях число альтернативних систем рівнянь загальної рівноваги, які плановик повинен вирішити, перед тим як зробити вибір, стає дуже великим. Рішення подібного роду проблем може бути знайдено завдяки розвитку в останні роки лінійного програмування – математичного методу, на основі ЕОМ може бути запрограмована для послідовного рішення великої кількості окремих, але тісно взаємопов'язаних систем лінійних рівнянь.
Вибір між альтернативними варіантами розвитку в межах, які задаються структурними характеристиками даної економіки, по суті визначає розподіл результатів виробничої діяльності нації між теперішнім та майбутнім поколіннями. Сучасні методи економічного аналізу дозволяють зробити цей вибір результатом компетентного і продуманого політичного рішення».
В. Леонтьєв «Економічні есе»