Лекція 7.

АНАЛІТИЧНІ МЕТОДИ КІНЕМАТИЧНОГО ДОСЛІДЖЕННЯ МЕХАНІЗМІВ

План лекції:

7.1. Задачі аналітичних методів дослідження механізмів.

7.2. Аналітична кінематика кривошипно-коромислового механізму.

7.3. Анаялітична кінематика кривошипно-повзучого механізму.

7.4. Аналітична кінематика кулісного механізму.

7.1. Задачі аналітичних методів дослідженя механізмів.

В попередніх лекціях були розглянуті графічні методи кінематичного аналізу важільних механізмів. Графічні методи відзначаються наочністю і простотою. Вони дозволяють визначати положення швидкості прискорення ланок механізмів любої структури, а тому їх успішно застосовують при розв'язуванні різних задач, що не вимагають великої точності.

Коли ж за умовами задачі виникає потреба в результатах із наперед заданою, точністю, яку не забезпечують графічні методи, то тоді застосовують аналітичні методи дослідження. Розвиток обчислювальної техніки сприяє вдосконаленню і поширенню аналітичних методів кінематичного дослідження механізмів.

Основними задачами аналітичних методів дослідження механізмів є визначення, з наперед заданою точністю, положень всіх його ланок при любому куті φ₁ повороту кривошипа, а також дозволяє отримати залежності між переміщеннями, швидкостями та прискореннями у вигляді формул, із яких видно, які параметри механізму слід змінити, щоб отримати необхідні співвідношення між ними для покращення роботи механізму в цілому.

В залежності від використання математичного апарату методи аналітичної кінематики діляться на метод аналогів, метод векторних контурів координатні методи та метод комплексних чисел. Ми будемо застосовувати для дослідження механізмів методи векторних контурів.

7.2. Аналітична кінематика кривошипно-коромислового механізму.

На рис.7.1 показана кінематична схема кривошипно-коромислового механізму. Кривошип ОА обертається із заданою сталою кутовою швидкістю ω₁. Положення кривошипа визначається кутом φ₁, який кривошип утворює з лінією центрів ОО₁ стояка, а положення шатуна АВ та коромисла О₁В – відповідно кутами φ₂ та φ₃ теж відносно тієї самої лінії ОО₁.

Проведемо через центр шарніру О координатні осі хоу. Позначимо кут, який утворює лінія центрів ОО₁ з віссю ох через φ₄.

К ривошипно-коромисловий механізм

Рис.7.1

Будемо вважати довжини ланок ОА = l₁ і AB = l₂, О1В ₌ l₃ i O₁O = l₄ відомими. Нехай також заданий кут φ₁ повороту вхідної ланки AO.

Знайдемо в аналітичній формі залежності між переміщеннями, та прискореннями ланок механізму.

Розглядаючи контур OABO₁, утворений ланками механізму, як замкнуту ламану лінію, що становить суму векторів, можна скласти рівняння:

. /7.1/

Проектуючи це векторне рівняння на осі ox i oy, дістанемо:

/7.2/

Оскiльки φ₄ = 180⁰, то sin φ₄ = 0, a cos φ₄ = -1.

Отже, рівняння /7.2/ приймуть вид:

/7.3/

Знайдемо кутові швидкості ω₁ i ω₂ ланок 2 і 3, для чого продиференціюємо рівняння /7.3/ за часом t, отримаємо:

/7.4/

Оскільки , , , то рівняння /7.4/ наберуть такого вигляду:

/7.5/

Для визначення кутової швидкості ω₂ повернемо координатні осі xoy на кут φ₃, це рівнозначно відніманню кута φ₃ в рівняннях /7.5/, тоді перше рівняння /7.5/ набере вигляду:

l₂ω₂sin (φ₂ – φ₃)= - l₁ω₁sin (φ₁ – φ₃ ) . /7.6/

Із відношення /7.6/ маємо:

ω₂ = - ω_{1 .} /7.7/

Аналогічно повертаючи координатні осі oxy на кут φ₂ із першого рівняння

/ 7.5 / знаходимо:

l₁ω₁sin (φ₁ – φ₂)= l₃ω₃sin (φ₃ – φ₂ )

або

ω₃ = ω_{1 .} /7.8/

Тепер знайдемо кутові прискорення ε₂ i ε₃ ланок 2 і 3, для чого продиференціюємо перше рівняння /7.5/ за часом t, отримаємо:

l₁ω₁² cosφ₁ + l₂ω₂² cos φ₂ + l₂ ε₂sin φ₂ = l₃ω₃² cos φ₃+l₃ ε₃sin φ₃ /7.9/

де ε₂ = , ε₃ = , a ε₁ = 0, оскiльки ω₁ = const.

Повертаючи координатні осі xoy спочатку на кут φ₂, а за тим на кут φ₃, визначемо кутові прискорення ε₂ i ε₃ , використовуючи /7.9/

ε₃ = _; /7.10/

ε₂ = _. /7.11/

Тепер знайдемо кути φ₂ i φ₃ /виразимо їх через φ₁ і довжини ланок/. Позначимо відомі величини:

- l₄ + l₁cosφ₁ = a;

l₁sin φ₁ = в. /7.12/

Враховуючи позначення /7.12/, рівняння /7.3/ набудуть вигляду:

; /7.13/

Пiднесемо рівняння /7.13/ до квадрату і знайдемо кут φ₂

cos φ₂ = , /7.14/

де

A = , B = .

Підставимо значення φ₂ в одне з рівнянь /7.13/ і знайдемо кут φ₃.

Лінійні швидкості окремих точок ланок механізму та нормальні і тангенціальні прискорення знайдемо із відношень:

V_BA = ω₂ l₂;V_BO1 = ω₃ l₃;

a^п_BA = ; a^п_BО1 = ;

; . /7.15/

Викладений аналітичний метод дослідження кривошипно-коромислового механізму може бути застосований до любих механізмів, які утворені приєднанням до ведучої ланки зі стояком груп Ассура ІІ класу ІІ порядку.