Ниже будут описаны и проанализированы основные результаты, следующие из решения радиального уравнения (7.3.3) с учётом (7.3.4) и (7.3.5). Само решение читателям предлагается выполнить самостоятельно.

Задача 7.3.1. Решив радиальное уравнение (7.3.3) – (7.3.5), вычислите энергетические уровни и волновые функции, описывающие связанные состояния электрона и ядра в атоме водорода и водородоподобном ионе.

7.3.2. Энергетические уровни

Энергетические уровни El,v , которые являются собственными

значениями радиального уравнения, следующим образом зависят от азимутального l и колебательного v квантовых чисел:

(Заметим, что в квантовой механике атомов по чисто историческим причинам величину v принято называть радиальным квантовым

392

числом и обозначать nr . Мы, однако, не будем вводить второе, к

тому же громоздкое обозначение для одной и той же величины). Статистический вес или степень (кратность) вырождения gl,v

рассматриваемом случае, взаимодействуют по закону Кулона (7.3.1), то энергия связанного состояния El,v (7.3.12) зависит не «по отдельности» от азимутального l и колебательного (радиального) v квантовых чисел, а от их суммы. Поэтому, например, разные состояния атома водорода или водородоподобного иона с l = 0, v = 2 (a), l = 1, v = 1 (b), l = 2, v = 0 (c) обладают одной и той же энергией

Эта ситуация известна под названием «случайного» вырождения энергетических уровней атома водорода и водородоподобных ионов.

При наличии случайного вырождения принято для нумерации уровней энергии (7.3.12) использовать не два квантовых числа l и v, а одно, которое называется главным квантовым числом:

Очевидно, n ≥ 1.

393

С учётом (7.3.13) вместо (7.3.12) получим следующее выражение для подсчёта энергетических уровней:

Основной (т.е. наинизший) энергетический уровень соответствует значению главного квантового числа n = 1. Чтобы атом перешёл в первое возбуждённое состояние при n = 2, к нему необходимо подвести резонансную энергию

По мере увеличения энергии связь электрона с ядром становится всё более слабой, и при n → ∞ происходит отрыв электрона от ядра, т.е. ионизация. Энергия I, которую требуется подвести к атому, находящемуся в основном состоянии, чтобы его ионизовать, называется энергией (потенциалом) ионизации. Для рассматриваемой системы

Заметим, что энергия ионизации (7.3.16) атома водорода (Z = 1) с учётом (7.3.10), (7.3.11) близка к постоянной Ридберга Ry:

394

IH = Ry . 1+ me

mn

С учётом приведенных выше численных значений универсальных постоянных IH = 13,5983922(40) эВ.

Статистический вес gn уровня энергии (7.3.14), заданного главным квантовым числом n (7.3.13), подсчитывается просто как сумма статистических весов gl,v = 2l +1 для всевозможных значений квантовых чисел l и v, реализующихся при данном n: l = 0, v = n – 1; l = 1, v = n – 2;… l = n – 1, v = 0:

l=0

7.3.3. Волновые функции

Радиальная функция имеет вид

Величина βl,v зависит от азимутального l и колебательного v

квантовых чисел следующим образом [ср. с (7.3.12)]:

395

Функция из выражения (7.3.18)

в которую входят величины (7.3.6) и (7.3.19). Коэффициенты полинома (7.3.19) bi(l,v) связаны рекуррентным соотношением

и подсчитываются по формулам

396

Эта функция достаточно быстро, т.е. пропорционально r, обращается в ноль при r → 0 [см. условие (6.4.17) из п/п. 6.4.3)], имеет максимум при расстоянии электрона от ядра

rmax = rZ* (7.3.26)

и экспоненциально быстро стремится к нулю при r → ∞ (6.4.18). Величина (7.3.26) есть наиболее вероятное расстояние

электрона от ядра в основном состоянии атома водорода или водородоподобного иона. Среднее расстояние электрона от ядра (7.3.24) в основном состоянии (7.3.25):

Интересно отметить, что с точки зрения классической механики устойчивое состояние электрона и ядра, описываемое волновой функцией (7.3.25), невозможно. В самом деле, в основном состоянии рассматриваемой системы l = 0, т.е. равен нулю момент

импульса относительного движения электрона и ядра M = M 2 . Иначе говоря, нет вращения электрона вокруг ядра, и в эффективной потенциальной энергии системы (7.3.5) отсутствует

398

центробежное отталкивание, уравновешивающее кулоновское притяжение электрона и ядра. Тогда из (7.3.5) очевидно, что электрон должен просто «упасть» на ядро, а энергия такой системы обратится в –∞. То, что в действительности энергия основного состояния системы (7.3.14) конечна,

E1 = Φ0 − E *2Z 2 = Φ0 − I

[см. (7.3.16)], а рассматриваемое состояние существует и является наиболее устойчивым состоянием рассматриваемой системы, есть квантовый эффект, необъяснимый с позиций классической механики.

Следует отметить, что то же самое касается и всех возбуждённых состояний системы χ0,v (r) при l = 0 и v > 0.

Волновые функции χ0,v (r) (7.3.18), как и χ0,0 (r) (7.3.25),

(максимумов и минимумов). Таков же характер осцилляций и у функций χl,v (r) при l > 0.

По мере возбуждения атома электрон в среднем оказывается всё дальше от ядра, так что его эффективный размер (7.3.24) быстро растёт. Можно показать, что в состоянии атома с главным квантовым числом n

399