<ϕ |ψ >= 0 . |
(4.1.8) |
4.1.3. Амплитуда и вероятность перехода
Скалярное произведение двух волновых функций называется в квантовой механике амплитудой перехода микросистемы из «начального» или «исходного» состояния, описываемого волновой функцией ψ(t, q), в «конечное» состояние, описываемое волновой функцией ϕ(t, q) .
Квадрат модуля амплитуды перехода определяет вероятность перехода микросистемы из состояния, описываемого волновой функцией ψ(t, q), в состояние, описываемое волновой функцией
ϕ(t, q) :
w(ψ →ϕ) =|<ϕ |ψ >|2 . |
(4.1.9) |
Если набор функций ϕ(t, q) и описываемых ими возможных
«конечных» состояний микросистемы образует счётное множество, то выражение (4.1.9) можно рассматривать буквально как вероятность перехода микросистемы в одно из них. В противном случае равенство (4.1.9) следует интерпретировать как величину, пропорциональную плотности вероятности перехода. Заметим, однако, что это не так просто сделать. Величина (4.1.9) безразмерна, что и требуется для вероятности; но плотность
213
вероятности имеет размерность, обратную размерности случайной величины.
Покажем, как из (4.1.9) следует обсуждавшаяся в п/п. 2.1.2 вероятностная интерпретация волновой функции (2.1.8). Рассмотрим для простоты случай микрочастицы с одной степенью свободы. Скалярное произведение (4.1.5) волновой функции такой системы на собственную функцию оператора координаты ψξ (t, x)
(п/п. 2.3.1) равно
∞
<ψξ |ψ >= ∫ψξ *(t, x)ψ(t, x)dx .
−∞
Поскольку функция ψξ (t, x) отлична от нуля только при x = ξ, это выражение можно переписать в виде
∞
<ψξ |ψ >=ψ(t,ξ) ∫ψξ *(t, x)dx .
−∞
Комплексно – сопряжённое от полученного выражения:
∞
<ψξ |ψ >*=ψ *(t,ξ) ∫ψξ (t, x)dx .
−∞
Перемножая два последних выражения, получим
214
∞∞
|<ψξ |ψ >|2 =ψ *(t,ξ)ψ(t,ξ) ∫ψξ *(t, x)dx ∫ψξ (t, x)dx.
−∞ −∞
А теперь опустим одно из интегрирований по координате, чтобы получить плотность вероятности для случайной переменной ξ:
∞
P(t,ξ) =|ψ(t,ξ) |2 ∫|ψξ (t, x) |2 dx .
−∞
Но вследствие (3.3.6) под знаком интеграла здесь находится δ – функция (3.3.5), интеграл от которой равен 1. Отсюда имеем равенство, тождественное (2.1.4):
P(t,ξ) =|ψ(t,ξ) |2 .
Покажем, что вероятности перехода (4.1.9) в обоих направлениях одинаковы, т.е.
w(ψ →ϕ) = w(ϕ →ψ). |
(4.1.10) |
В самом деле,
w(ψ →ϕ) =|<ϕ |ψ >|2 =<ϕ |ψ > * <ϕ |ψ >=
=<ϕ |ψ ><ψ |ϕ >=<ψ |ϕ >* <ψ |ϕ >= <ψ |ϕ >2 = w(ϕ →ψ).
215