Отсюда видно, что микрообъект не является ни корпускулой, ни волной. Но третьего классической физикой не дано! Следовательно, объяснить результаты рассматриваемого эксперимента в классических терминах невозможно. Однако именно так себя ведёт природа!

1.4.3. Принцип неопределённостей

Этот принцип, сформулированный В. Гайзенбергом, уже подробно комментировался нами в п/п. 1.4.1. В соответствии с ним неопределённости в значениях «сопряжённых» координаты и импульса связаны неравенством Гайзенберга (1.4.12)

Входящие в соотношение (1.4.20) величины x и px вовсе не являются погрешностями измерения x и px . Классическая физика учит нас, что измерение любой физической величины сопровождается погрешностями, но, совершенствуя методику измерения и измерительные приборы, погрешность можно уменьшить, и это уменьшение ничем не ограничено. Квантовая физика устами принципа неопределённости говорит нам, что, независимо от того, есть ли наблюдатель, выполняющий измерения, или наблюдателя не существует, природа устроена так, что динамические переменные x и px никогда не имеют и в

65

принципе не могут иметь одновременно (т.е. совместно) определённых значений. Если вы желаете экспериментальным путём как можно точнее установить положение микрообъекта в пространстве — не пытайтесь одновременно измерять его скорость или импульс: идя на поводу у своей неумелой любознательности, вы только испортите дело. Точно так же, пытаясь заставить микрообъект двигаться со строго определённой скоростью, не сильтесь установить, где он находится: вам это всё равно не удастся, зато ваши частицы начнут разбегаться во все стороны с любыми скоростями!

Как уже указывалось в п/п. 1.4.1, это, в частности, означает, что у микрообъекта нет и не может быть траектории движения.

1.4.4. Вероятностный характер динамических событий

Как следует из сказанного в п/п. 1.4.1, если ξ — некоторая физическая величина — динамическая переменная какого–то микрообъекта, то вопрос «чему равна величина ξ в некоторый момент времени t?» является, вообще говоря, неправильным, т.к. в большинстве случаев ответа на него не существует. Правильной является такая постановка вопроса: с какой вероятностью

рассматриваемая величина в момент времени t имеет значение ξ?

Тем самым величина ξ должна рассматриваться как случайная.

С точки зрения теории вероятности, впрочем, вопрос задан не вполне корректно. Известно, что случайные величины бывают двух

66

типов. Одни из них имеют дискретный набор (или спектр) значений, которые можно пронумеровать с помощью натуральных чисел:

Другие образуют непрерывный набор (или спектр) значений:

Понятно, что перенумеровать эти значения невозможно.

Если мы имеем дело с дискретной случайной величиной, то тогда каждому её значению ξn из набора (1.4.21) соответствует вероятность wn этого значения. Напомним, что имеется в виду.

Пусть случайная величина ξ наблюдалась в одних и тех же условиях N раз (т.е. было выполнено N случайных испытаний), и в Nn случаях «выпало» значение ξn . Если N >> 1, то отношение

Nn /N будет устойчивой оценкой доли случаев, в которых получился данный результат испытания, или частоты появления результата ξn . Эта устойчивая оценка и называется вероятностью рассматриваемого исхода случайного испытания, т.е. вероятностью

случайного события, состоящего в том, что величина ξ окажется равной ξn . Например, вероятность того, что при выбрасывании игральной кости (если её центр тяжести не смещён, а игрок не жульничает) выпадет грань 2, w2 = 1/6. Вероятность того, что карта,

67

наугад вытащенная из хорошо стасованной колоды, которая состоит из 52 карт, окажется тузом любой масти, равна 4/52 = 1/13. Но это вовсе не значит, что, подбросив игральную кость 6 раз, вы увидите один раз 1, один раз 2 и.т.д.! N2 /N окажется более–менее близким к 1/6, если N = 10000 или более того.

Очевидно, что сумма вероятностей всех исходов случайных событий по определению всегда равна единице:

n=1

Соотношение (1.4.23) называется условием нормировки распределения вероятностей.

Если любой исход случайного испытания появляется одинаково часто, то такие случайные события (и соответствующие им значения случайной величины) называются равновероятными. Из (1.4.23) очевидно, что в этом случае

Например, равновероятны выпадение любой грани «хорошей» игральной кости ( wn =1/6 для любого 1≤n≤6) или вытаскивание любой наперёд заданной карты из хорошо стасованной колоды

( wn =1/52 для любого 1≤n≤52). Но, конечно, не из рукава сдающего!

68

Описанный способ описания распределения вероятностей пригоден, очевидно, только для дискретных случайных событий и величин, которые можно перенумеровать. Если же случайная величина — непрерывная, то для описания распределения вероятностей следует использовать не дискретный набор вероятностей, а непрерывную функцию P(ξ), которая называется

плотностью вероятности.

Эта функция позволяет подсчитать вероятность того, что в текущем испытании значение случайной величины ξ оказывается в интервале ξ1 ≤ξ ≤ξ2 :

В частности, если интервал бесконечно мал, то вместо (1.4.25) можно записать

Определение (1.4.25) показывает, что вопрос «чему равна вероятность, что случайная величина имеет точно значение ξ?», правильно поставленный применительно к дискретной случайной величине, для непрерывно распределённой случайной величины не имеет никакого смысла: эта вероятность тождественно равна нулю!

69

Из (1.4.25) следует условие нормировки плотности вероятности

[сравните с 1.4.23)!)]:

Первое равенство (1.4.27) означает, что в любом случайном испытании значение случайной величины ξ наверняка (т.е. с вероятностью, равной 1) окажется в интервале ξmin ≤ξ ≤ξmax

(1.4.22), т.е.

w(ξmin ≤ξ ≤ξmax ) = 1.

Второе равенство (1.4.26) тождественно первому, поскольку, как ясно из (1.4.25), вне интервала ξmin ≤ξ ≤ξmax (1.4.22) плотность вероятности P(ξ) тождественно равна нулю.

Важным частным случаем является непрерывная случайная величина, равномерно распределённая в интервале ξmin ≤ξ ≤ξmax .

Хотелось бы сказать, что любое значение такой случайной величины равновероятно, но по названной выше причине такое высказывание некорректно. Правильным является следующее определение: вероятность того, что значение равномерно распределённой случайной величины окажется в любом интервале ξ1 ≤ξ ≤ξ2 , равно

70

плотность вероятности равномерно распределённой случайной величины:

а из условия нормировки (1.4.27) следует, что эта константа равна

Если дискретные случайные события и величины чаще встречаются в мире азартных игр — в кости, «орла и решку», карты, рулетку и т.п., то непрерывно распределённые случайные величины больше распространены в обыденной жизни. Таковыми, к примеру, являются значения роста, массы или коэффициента умственного развития (IQ) наугад выбранного человека, интервала времени, в течение которого придётся ожидать автобус на остановке, и.т.д.

В окружающем нас «классическом» мире мы очень часто рассматриваем те или иные события и величины как случайные потому, что не располагаем достаточной информацией, чтобы

71

достоверно их предвидеть и предсказывать. Например, если бы мы точно знали, с какой линейной и угловой скоростью подброшена монета и каково было её положение в пространстве в момент броска, то, решив уравнения классической механики для этих начальных условий, могли бы точно указать, какой стороной — «орлом» или «решкой» — она упадёт. Поскольку же мы ничего этого не знаем и не умеем, а начальные условия для каждого броска монеты различны, и игрок, бросающий монету, не может их контролировать, то мы предполагаем, что исход броска случаен, а два возможных исхода броска — равновероятны. И надо сказать, что опыт полностью подтверждает это предположение. Однако на самом–то деле всё происходит не случайно, а вполне закономерно и полностью детерминировано, т.е. причинно обусловлено. Поэтому использование нами вероятностных характеристик для предсказания подобных явлений является лишь следствием нашей неинформированности.

С точки зрения современной физики, динамические процессы в микромире носят принципиально случайный характер, а теория вероятностей и математическая статистика являются единственным возможным языком их количественного описания. Так устроена природа. Вопросы «где находится микрочастица в данный момент времени?» или «каковы величина и направление её скорости?» лишены смысла. Координаты, определяющие положение микрообъекта в пространстве, и проекции вектора его скорости, являются непрерывными случайными величинами. Поэтому возможны лишь ответы на вопросы «какова вероятность

72