6.1.3. Сохранение момента импульса классической частицы в центральном поле
Докажем, что для частицы, находящейся в центральном поле, все эти три динамические переменные являются интегралами движения, т.е. не меняются с течением времени, так что и сам вектор момента импульса является интегралом движения. Для доказательства продифференцируем выражение (6.1.4) по времени:
dM |
= |
dr |
× p + r × |
dp |
. |
(6.1.6) |
dt |
dt |
|
||||
|
|
dt |
|
|||
Вспомним, что векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю. В первом слагаемом правой части равенства (6.1.6) сомножителями векторного произведения являются скорость dr/dt и
импульс частицы p = m dr/dt — коллинеарные векторы. Сомножители второго слагаемого тоже коллинеарны, т.к. в соответствии со вторым законом Ньютона в поле центральной силы
ddpt = F = − ddrΦ rr .
Следовательно,
dM |
= 0 . |
(6.1.7) |
|
dt |
|||
|
|
||
321 |
|
||
Таким образом, вектор момента импульса частицы в центральном поле, а значит, и все его проекции с течением времени не меняются, т.е. являются интегралами движения. Иными словами, постоянны как квадрат абсолютной величины (модуля) вектора момента импульса
M 2 = M x2 + M y2 + M z2 |
(6.1.8) |
или сам модуль этого вектора
M = M = 
M x2 + M y2 + M z2 ,
так и его направление в пространстве.
Отсюда, между прочим, следует, что траектория движения частицы относительно неподвижного центра силы r(t) является плоской кривой: она целиком лежит в плоскости, перпендикулярной постоянному вектору M.
Действительно: поскольку векторы r и p — сомножители векторного произведения — перпендикулярны вектору M, то в процессе движения частицы вдоль траектории вектор r всё время образует с вектором M прямой угол, поворачиваясь вокруг него как вокруг оси и меняя свою длину. Это, конечно, ещё не означает, что вектор r движется в плоскости, перпендикулярной M он мог бы смещаться вдоль M, описывая винтовую поверхность. Но для
322
такого смещения у скорости изменения вектора r должна быть составляющая, направленная вдоль M. Однако поскольку скорость dr/dt коллинеарна p, то она не имеет составляющей, параллельной M. Следовательно, вектор r не смещается вдоль M, а всё время остаётся в одной плоскости, перпендикулярной M.
6.1.4. Сохранение энергии классической частицы в центральном поле
Если потенциальная энергия частицы в центральном поле Φ(r) не зависит от времени явно, то, наряду с тремя проекциями момента импульса (6.1.5), частица обладает ещё одним хорошо известным интегралом движения — энергией (1.2.5) (п/п. 1.2.5)
E = |
1 |
( px2 + p2y + pz2 ) +Φ(r) . |
(6.1.9) |
|
2m |
||||
|
|
|
Итак, несмотря на то, что все четыре динамические переменные (6.1.5), (6.1.9) «состоят» из координат и проекций импульса частицы, меняющихся с течением времени в соответствии с уравнениями движения классической механики, сами эти величины остаются постоянными.
323