5.6.Динамическое уравнение Гайзенберга
5.6.1.Скорость изменения среднего значения динамической переменной
Вычислим производную по времени от среднего значения динамической переменной, определяемого формулой (4.4.7):
d |
|
|
∂ψ |
* |
ˆ |
|
∂ψ |
|
F |
=∫ |
ˆ |
||||||
dt |
∂t |
|
Fψ (t,q)dq + ∫ψ * (t,q)F |
∂t dq ≡ A + B. (5.6.1) |
||||
Входящие в (5.6.1) частные производные по времени от волновой функции и её комплексно сопряжённой найдём из уравнения Шрёдингера
ih |
∂ψ |
ˆ |
∂ψ |
|
1 |
ˆ |
∂ψ * |
|
1 |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂t = Hψ ; |
∂t = ih Hψ ; |
∂t |
= −ih(Hψ) *, (5.6.2) |
||||||||
где Hˆ –– оператор Гамильтона микросистемы, представляющий её функцию Гамильтона.
Преобразуем первое слагаемое в правой части (5.6.1), используя (5.6.2) и соотношения теории сопряжённых операторов
(п. 4.2 и 5.2):
A =− i1h∫(Hˆψ) * Fˆψdq =− i1h[∫ψ * Fˆ (Hˆψ )dq]*=...
312
[использовано определение самосопряжённого оператора (4.2.10)]
...=− i1h[∫ψ * (FˆHˆ )ψdq]*=− i1h[∫ψ * (FˆHˆ )+ψdq]
[использовано определение сопряжённого оператора (4.2.5)]. Второе слагаемое из (5.6.1) с учётом (5.6.2) примет вид
B =i1h[∫ψ * (FˆHˆ )ψdq].
Окончательно получим из (5.6.1) выражение
|
|
|
d |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
+ |
]ψdq . |
|
|||||||
|
|
|
dt |
|
=ih |
∫ψ *[(FH ) − |
(FH ) |
|
(5.6.3) |
||||||
Поскольку |
ˆ |
и |
|
ˆ |
–– самосопряжённые операторы, то, |
||||||||||
F |
H |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
+ |
ˆ + |
ˆ |
+ |
|
ˆ ˆ |
|
используя теорему 5.2.1, имеем: (FH ) |
|
= H F |
|
= HF . В итоге из |
|||||||||||
(5.6.3) получим соотношение
d |
|
|
|
1 |
|
|
F |
ˆ ˆ |
|
||||
dt |
|
=ih |
∫ψ *[F, H ]ψdq , |
(5.6.4) |
||
где
[Fˆ , Hˆ ] ≡ FˆHˆ − HˆFˆ
313
–– коммутатор операторов Fˆ и Hˆ .
Соотношение (5.6.4) с учётом (4.4.7) запишем в виде
d |
F |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
|
||||||
dt |
|
=ih |
[F, H ], |
(5.6.5) |
||||
где
[Fˆ , Hˆ ] = ψ | [Fˆ , Hˆ ] |ψ .
Соотношение (5.6.5) называется уравнением Гайзенберга для среднего значения динамической переменной. В «матричной механике» В. Гайзенберга уравнение (5.6.5) используется для самих операторов:
ddtFˆ =i1h[Fˆ , Hˆ ].
Здесь мы не имеем возможности вдаваться в обсуждение вопроса о том, что означает производная по времени от оператора и каков смысл «собственно» уравнения Гайзенберга. Однако уравнением Гайзенберга для средних значений динамических переменных (5.6.5) можно успешно воспользоваться.
314
5.6.2. Уравнения Эренфеста как частные случаи уравнений Гайзенберга
В качестве примера применим уравнение Гайзенберга для средних значений динамических переменных (5.6.5) к координате x и импульсу px микрочастицы.
Коммутаторы соответствующих операторов с оператором Гамильтона микрочастицы вычислены в задачах 5.1.1 и 5.1.2:
ˆ |
|
ih |
p |
; |
ˆ |
|
] = ih |
∂Φ |
ˆ |
(5.6.6) |
|
|
|
|
|||||||
[H , x] = − |
|
[H , p |
|
1. |
||||||
|
ˆ |
m |
ˆ x |
|
|
ˆ x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя выражения(5.6.6) в (5.6.5), получим соответственно:
d |
|
|
1 |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
px |
|
∂Φ |
|
|
||||
= |
|
px ; |
= − |
. |
(5.6.7) |
||||||||
dt |
m |
|
dt |
∂x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Соотношения (5.6.7) суть первое и второе уравнения Эренфеста —
см. теоремы 5.6.1 и 5.6.2.
Нельзя не заметить, насколько проще, изящней и «красивее» выполняется вывод этих соотношений с помощью уравнение Гайзенберга для средних значений динамических переменных по сравнению с тем довольно громоздким «прямым» подходом, который использовался при доказательстве теорем Эренфеста в п. 4.5 (п/пп. 4.5.2 и 4.5.3). Впрочем, если внимательно вглядеться в выкладки, то можно заметить, что преобразования, выполняемые в
315