5.5.Когда динамические переменные могут, а когда не могут одновременно иметь определённые значения?
5.5.1.Что запрещают соотношения неопределённостей
Как мы видели из материала, изложенного в п. 5.4, ответ на вопрос, который сформулирован в заголовке данного пункта, зависит от того, коммутируют ли самосопряжённые операторы, представляющие рассматриваемые динамические переменные.
Подчеркнём, что в данном контексте слово «одновременно» не имеет никакого отношения ко времени. Выражение «физические величины F и G имеют / не имеют одновременно определённые значения» означает, что в данном состоянии микросистемы и та, и другая величина являются не случайными, а детерминированными. Это позволяет измерить значения обеих рассматриваемых величин в одном и том же эксперименте.
Если операторы Fˆ и Gˆ , представляющие физические величины микросистемы F и G, коммутируют, т.е. [Fˆ ,Gˆ ] = 0ˆ , то соотношение неопределённостей (5.3.8)
|
1 |
|
|
|
|
FrmsGrms ≥ |
|
ˆ ˆ |
(5.5.1) |
||
2 |
i[F,G]. |
||||
|
|
|
|
|
|
308
для этих величин всегда имеет вид
Frms Grms ≥ 0 . |
(5.5.2) |
Соотношение (5.5.2) означает, что физические величины F и G в любом состоянии рассматриваемой микросистемы могут одновременно иметь определённые значения.
|
Однако даже если операторы |
ˆ |
и |
ˆ |
не коммутируют, т.е. |
|
|
F |
G |
||||
ˆ |
ˆ ˆ |
, но в некотором состоянии микросистемы, описываемом |
||||
[F,G] ≠ 0 |
||||||
волновой функцией ψ, среднее значение коммутатора равно нулю, [Fˆ ,Gˆ ] = 0, то соотношение неопределённостей (5.5.1) будет иметь тот же вид (5.5.2) — с нулём в правой части неравенства. Теперь оно означает, что физические величины F и G в данном состоянии микросистемы могут одновременно иметь определённые значения.
Если же ξ = i[Fˆ ,Gˆ ] ≠ 0, то физические величины F и G не могут в данном состоянии микросистемы иметь одновременно определённых значений, т.к., как видно из (5.5.1),
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FrmsGrms ≥ |
|
ˆ |
ˆ |
(5.5.3) |
|||
|
|
|
|
2 |
i[F,G]> 0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
отличен от нуля, |
|
Наконец, если коммутатор операторов F |
и G |
|||||||||
|
ˆ ˆ ˆ |
а |
его среднее |
значение |
|
всегда отлично от нуля, |
|||||
[F,G] ≠ 0, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
то |
физические |
величины |
|
F и G не могут иметь |
|||||
[F,G] ≠ 0 , |
|
||||||||||
одновременно |
определённых значений никогда, |
т.е. ни в одном |
|||||||||
309
состоянии микросистемы. Типичным примером таких динамических переменных являются «одноимённые» (или, точнее, сопряжённые) координата x и импульс px микрочастицы. Как видно из соотношения (5.1.23), среднее значение коммутатора операторов этих величин
[xˆ, pˆ x ] = ih
отлично от нуля, независимо от волновой функции, используемой для усреднения. Поэтому рассматриваемые физические величины ни при каких обстоятельствах не могут одновременно иметь определённые значения.
5.5.2. Что разрешают теоремы об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
Заметим, однако, что если соотношение неопределённостей не запрещает двум физическим величинам F и G одновременно иметь определённые значения, то это вовсе не означает, что данные величины должны их иметь.
«Разрешительный» характер носит теорема 5.4.1 о коммутирующих самосопряжённых операторах: если операторы коммутируют, то соответствующие физические величины обязательно всегда имеют одновременно определённые значения.
Вместе с тем если операторы не коммутируют, то теорема о коммутирующих самосопряжённых операторах не запрещает
310
соответствующим физическим величинам иметь одновременно определённые значения в тех или иных состояниях микросистемы.
Примером подобной ситуации являются проекции вектора момента импульса M x , M y и M z (п.п. 6.1, 6.2), коммутаторы
операторов которых (6.2.2) не являются нулевыми операторами. В большинстве ситуаций эти три величины не могут иметь одновременно определённые значения. Однако в том состоянии микрочастицы, когда квадрат вектора момента импульса равен нулю, M 2 = 0, все три рассматриваемые величины по очевидной с
физической точки |
зрения причине тоже |
равны нулю, |
M x =M y =M z = 0, |
т.е. имеют одновременно |
определённые |
(нулевые) значения (см. конец п/п. 6.3.3). |
|
|
Вопросы для самопроверки
5.5.1. Каков физический смысл с позиций теорем о собственных функциях и собственных значениях самосопряжённых операторов можно придать следствию из неравенства В. Гайзенберга для проекций координат и импульса микрочастицы?
5.5.2. Можно ли утверждать, что если операторы, представляющие две динамические переменные, не коммутируют, то эти динамические переменные никогда не могут одновременно иметь определённые значения?
311