3.2.5. Является ли свободная микрочастица «плоской волной»?

Функция вида (3.2.32), (3.2.47) хорошо известна в теории распространения волн (электромагнитных, акустических и др.) как плоская волна. Эта функция является простейшим решением волнового уравнения, описывающего процессы распространения акустических волн в однородных изотропных средах, а

электромагнитных — в вакууме. Если ϕ(t, r) — полевая переменная (плотность вещества в акустическом поле, одна из проекций напряжённости электрического или магнитного поля в электромагнитном поле), то волновое уравнение имеет вид

где c, как мы увидим далее — скорость распространения волны. Уравнение (3.2.49) без труда решается методом разделения

переменных и имеет вид плоской волны

ϕ(t, r) = Aexp[i(kx x + k y y + kz z −ωt)] ≡ Aexp[i(k r −ωt)], (3.2.50)

причём

181

Величина ω в (3.2.50) представляет собой угловую частоту колебаний полевой переменной, а k называется волновым вектором. Его абсолютная величина связана с длиной распространяющейся в пространстве волны λ (3.2.50)

соотношением [см. (1.4.6), (1.4.7)]:

Соотношение (3.2.50) по форме действительно совпадает с волновой функцией свободной частицы (3.2.32), (3.2.33), если, помимо соотношения Эйнштейна – де Бройля (1.4.5), (3.2.48)

принять связь между частотой и энергией

по форме напоминающую формулу Планка – Эйнштейна (1.4.3), (1.4.10).

Рассмотренная аналогия провоцирует вопрос: поскольку плоская волна (3.2.50) описывает реальный физический волновой процесс, протекающий в пространстве и во времени, не описывает ли и волновая функция свободной частицы (3.2.32), (3.2.33) реальное распространение микрочастицы?

182

Ответ на этот вопрос категорически отрицателен, т.к. утвердительный ответ привёл бы к нелепым выводам. В самом деле: рассмотрим поверхность постоянной фазы волны (3.2.50)

В фиксированный момент времени t соотношение (3.2.55) представляет собой уравнение плоскости, нормальной вектору k. Именно поэтому волна (3.2.50) называется плоской. С течением времени поверхность постоянной фазы — фазовая плоскость или фронт волны — смещается со скоростью

которую можно вычислить, продифференцировав (3.2.55) по времени:

Скорость (3.2.56) распространения фазовой плоскости или фронта волны (3.2.50) называется фазовой скоростью.

Поскольку в процессе движения фронт волны остаётся всё время перпендикулярным волновому вектору k, то фазовая скорость направлена вдоль волнового вектора, т.е.

183

связывающее волновое число, частоту и скорость распространения плоской волны. Получим:

Формула (3.2.61) похожа на соотношение, вытекающее из формулы теории относительности (1.2.14) для ультрарелятивистской частицы, у которой масса покоя m равна нулю, а скорость c равна скорости распространения света в вакууме. На самом деле, как показано в п/п. 1.2.8, релятивистская формула получится, если в правую часть (3.2.61) добавить произвольную постоянную E0 , с

точностью до которой определяется энергия.

Поскольку нами, напротив, рассматривается нерелятивистская квантовая механика, и волновая функция (3.2.32), (3.2.33) описывает состояние нерелятивистской частицы с конечной массой покоя, то скорость частицы c не имеет никакого отношения к скорости света, и правильным должно быть соотношение между скоростью и импульсом p = mc. Но тогда из (3.2.61) получим нелепое соотношение

Вместе с тем из уравнения Шрёдингера, решением которого является волновая функция свободной частицы, следует совершенно другое соотношение между энергией и импульсом

(3.2.36):

185