- •ВВЕДЕНИЕ
- •ЛИТЕРАТУРА
- •1. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА — РЕВОЛЮЦИЯ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ
- •1.1. Классическая картина мира
- •1.1.1. Мир материален
- •1.1.2. Две формы существования материи
- •1.1.3. Вещество
- •1.1.4. Поле
- •1.1.5. Сосуществование вещества и поля
- •1.1.6. Экспериментальные факты, противоречащие классической физике
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Классическая механика
- •1.2.1. Уравнения движения
- •1.2.2. Математическая модель
- •1.2.3. Потенциальная энергия
- •1.2.4. Энергия
- •1.2.5. Сохранение энергии
- •1.2.6. Импульс
- •1.2.7. Функция Гамильтона
- •1.2.8. Релятивистская механика
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Классическая теория поля
- •1.3.1. Гравитационное поле
- •1.3.2. Закон всемирного тяготения
- •1.3.3. Потенциальная энергия силы тяготения
- •1.3.4. Сила тяготения
- •1.3.5. Общая теория гравитации
- •1.3.6. Электромагнитное поле
- •1.3.7. Уравнения электромагнитного поля
- •1.3.8. Электрическое поле
- •1.3.9. Напряжённость электрического поля
- •1.3.10. Другие поля
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Основные принципы квантовой физики
- •1.4.1. Краткая история квантовой физики
- •1.4.2. Корпускулярно – волновой дуализм
- •1.4.3. Принцип неопределённостей
- •1.4.4. Вероятностный характер динамических событий
- •1.4.5. Крушение или рождение картины мира?
- •1.4.6. Принцип дополнительности Н. Бора
- •1.4.7. Почему мы не видим квантовых эффектов?
- •Вопросы для самопроверки
- •2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
- •2.1. Волновая функция
- •2.1.1. Волновая функция микрочастицы
- •2.1.2. Вероятностный смысл волновой функции
- •2.1.3. Статистические характеристики случайных величин
- •2.1.4. Статистические характеристики координат микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Вычисление волновой функции
- •2.2.1. Волновое уравнение
- •2.2.2. Волновая функция системы нескольких частиц
- •2.2.3. Волновое уравнение системы нескольких частиц
- •2.2.4. Волновая функция и волновое уравнение частицы с одной степенью свободы
- •2.2.5. Уравнение Шрёдингера в операторном виде
- •2.2.6. Общие требования к решениям уравнения Шрёдингера
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3. Замкнутая микросистема
- •2.3.1. Решение уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •2.3.2. Стационарные состояния
- •2.3.3. Связанные состояния
- •2.3.4. Стационарные связанные состояния
- •2.3.5. Общие черты решений одномерных задач о связанных стационарных состояниях
- •2.3.6. Состояния рассеяния
- •2.3.7. Общие черты решений одномерных стационарных задач о рассеянии микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •3. ОПЕРАТОРЫ ИМПУЛЬСА, КООРДИНАТЫ И ЭНЕРГИИ МИКРОЧАСТИЦЫ
- •3.1. Как построить оператор динамической переменной
- •3.1.1. Зачем нужны операторы в квантовой механике
- •3.1.2. Собственные функции и собственные значения операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •3.2. Оператор импульса
- •3.2.1. Свойства собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.2. Вычисление собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.3. Оператор импульса микрочастицы с одной степенью свободы
- •3.2.4. Операторы проекций импульса микрочастицы и их общие собственные функции
- •3.2.5. Является ли свободная микрочастица «плоской волной»?
- •Вопросы для самопроверки
- •3.3. Оператор координаты
- •3.3.1. Свойства собственной функции оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.2. Дельта – функция Дирака
- •3.3.3. Собственная функция оператора координаты и свойство оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.4. Операторы координат микрочастицы и их общая собственная функция
- •Вопросы для самопроверки
- •3.4. Оператор Гамильтона
- •3.4.1. Принцип соответствия Н. Бора
- •3.4.2. Оператор кинетической энергии микрочастицы
- •3.4.3. Оператор потенциальной энергии микрочастицы
- •3.4.4. Оператор Гамильтона микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •4.1. Пространство волновых функций
- •4.1.1. Функциональное пространство
- •4.1.2. Скалярное произведение функций
- •4.1.3. Амплитуда и вероятность перехода
- •Вопросы для самопроверки
- •4.2. Сопряжённые и самосопряжённые операторы
- •4.2.1. Сопряжённый оператор
- •4.2.2. Самосопряжённый оператор
- •Вопросы для самопроверки
- •4.3. Собственные значения и собственные функции самосопряжённых операторов
- •4.3.1. Собственные значения
- •4.3.2. Собственные функции
- •4.3.3. Полнота системы собственных функций самосопряжённого оператора
- •4.3.4. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Дискретный спектр собственных значений
- •4.3.5. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Непрерывный спектр собственных значений
- •4.3.6. Разложение волновой функции произвольного стационарного состояния микрочастицы по полной ортонормированной системе собственных функций оператора импульса
- •4.3.7. Тригонометрическое представление дельта – функции
- •Вопросы для самопроверки
- •4.4. Распределение вероятностей динамической переменной
- •4.4.1. Вероятность результата измерения динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.2. Среднее значение динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.3. Плотность вероятности результата измерения динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.4. Среднее значение динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.5. Коэффициент разложения как волновая функция в F – представлении
- •Вопросы для самопроверки
- •4.5. Теоремы П. Эренфеста
- •4.5.1. Формулировки, смысл и применение теорем П. Эренфеста
- •4.5.2. Доказательство первой теоремы П. Эренфеста
- •4.5.3. Доказательство второй теоремы П. Эренфеста
- •Вопросы для самопроверки
- •5. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ
- •5.1. Коммутация операторов
- •5.1.1. Основные правила алгебры операторов
- •5.1.2. Коммутатор операторов
- •5.1.3. Коммутаторы операторов координат и проекций импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.2. Свойства произведений операторов
- •5.2.1. Оператор, сопряжённый произведению операторов
- •5.2.2. Самосопряжённые комбинации самосопряжённых операторов
- •5.2.3. Положительно определённые операторы
- •Вопросы для самопроверки
- •5.3. Теорема В. Гайзенберга
- •5.3.1. Неравенство Гайзенберга
- •5.3.2. Следствие неравенства Гайзенберга
- •5.3.3. Соотношение неопределённостей между координатой и проекцией импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.4. Общие собственные функции коммутирующих самосопряжённых операторов
- •5.4.1. Прямая теорема об общих собственных функциях коммутирующих операторов
- •5.4.2. Обратная теорема об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.5. Когда динамические переменные могут, а когда не могут одновременно иметь определённые значения?
- •5.5.1. Что запрещают соотношения неопределённостей
- •5.5.2. Что разрешают теоремы об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.6. Динамическое уравнение Гайзенберга
- •5.6.1. Скорость изменения среднего значения динамической переменной
- •5.6.2. Уравнения Эренфеста как частные случаи уравнений Гайзенберга
- •Вопросы для самопроверки
- •6. МИКРОЧАСТИЦА В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
- •6.1. Момент импульса
- •6.1.1. Центральная сила
- •6.1.2. Момент импульса как классическая динамическая переменная микрочастицы
- •6.1.3. Сохранение момента импульса классической частицы в центральном поле
- •6.1.4. Сохранение энергии классической частицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.2. Оператор момента импульса
- •6.2.1. Коммутационные соотношения между операторами проекций момента импульса
- •6.2.2. Коммутационные соотношения между операторами квадрата и проекций момента импульса
- •6.2.3. Сохранение момента импульса микрочастицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.3. Собственные функции и собственные значения оператора момента импульса
- •6.3.1. Операторы квадрата и проекций момента импульса в декартовых и сферических координатах
- •6.3.2. Собственные значения операторов квадрата и проекции момента импульса
- •6.3.3. Собственные функции операторов квадрата и проекции момента импульса в сферических координатах
- •Вопросы для самопроверки
- •6.4. Стационарные состояния микрочастицы в поле центральной силы
- •6.4.1. Интегралы движения
- •6.4.2. Решение стационарного уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •6.4.3. Радиальное уравнение
- •6.4.4. Характер решений радиального уравнения Шрёдингера
- •6.4.5. Вырождение энергетических уровней
- •Вопросы для самопроверки
- •7. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ МИКРОЧАСТИЦ
- •7.1. Переносное и относительное движение двух частиц
- •7.1.1. Система многих микрочастиц
- •7.1.2. Координаты центра масс и относительного расположения двух частиц
- •7.1.3. Разделение переменных в стационарном уравнении Шрёдингера
- •7.1.4. Центральная сила взаимодействия микрочастиц
- •Вопросы для самопроверки
- •7.2. Двухатомная молекула
- •7.2.1. Эффективная потенциальная энергия межатомного взаимодействия в молекуле
- •7.2.2. Колебательно – вращательные энергетические уровни и радиальные волновые функции молекулы
- •7.2.3. Модель «гармонический осциллятор – жёсткий ротатор» для приближённого описания колебательно – вращательных состояний двухатомной молекулы
- •Вопросы для самопроверки
- •7.3. Атом водорода и водородоподобные ионы
- •7.3.1. Состояния относительного «движения» электрона и ядра
- •7.3.2. Энергетические уровни
- •7.3.3. Волновые функции
- •7.3.4. Сравнение теории с экспериментом
- •Вопросы для самопроверки
ˆ 2 |
ˆ 2 |
ˆ 2 |
ˆ 2 |
(6.2.3) |
M |
= M x |
+ M y |
+ M z . |
Соответствующая ему динамическая переменная (6.1.8) определяет величину квадрата модуля вектора момента импульса.
Оказывается, что оператор (6.2.3) коммутирует с оператором любой проекции момента импульса.
6.2.2. Коммутационные соотношения между операторами квадрата и проекций момента импульса
Теорема 6.2.2. Оператор |
ˆ |
2 |
попарно коммутирует с |
M |
|
операторами проекций момента импульса:
ˆ 2 |
ˆ |
ˆ 2 |
ˆ |
ˆ 2 |
ˆ |
ˆ |
(6.2.4) |
[M |
, M x ] =[M |
, M y ] =[M |
, M z ] = 0 . |
||||
Доказательство. Выполним доказательство последнего из трёх коммутационных соотношений (6.2.4).
Подставляя в (6.2.4) выражение (6.2.3), запишем:
ˆ 2 |
ˆ |
ˆ 2 |
ˆ |
ˆ 2 |
ˆ |
ˆ 2 |
ˆ |
[M |
, M z ] =[M x |
, M z ] +[M y |
, M z ] +[M z |
, M z ]. (6.2.5) |
|||
Поскольку любой оператор коммутирует сам с собой и с любой своей степенью (см. примечание 3 к определению №7 и определение № 8 из п/п. 5.1.1), последний из трёх коммутаторов в правой части равенства (6.2.5) есть нулевой оператор.
328
Первый коммутатор в правой части (6.2.5) преобразуем, используя коммутационные соотношения между операторами проекций момента импульса (6.2.2):
Mˆ x2Mˆ z = Mˆ x (Mˆ xMˆ z ) = Mˆ x (Mˆ zMˆ x −ihMˆ y ) =
=(Mˆ xMˆ z )Mˆ x −ihMˆ xMˆ y ) = (Mˆ zMˆ x −ihMˆ y )Mˆ x −ihMˆ xMˆ y =
=Mˆ zMˆ x2 −ih(Mˆ yMˆ x + Mˆ xMˆ y ) ,
т.е.
ˆ 2 |
ˆ |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
(6.2.6) |
[M x |
, M z ] = −ih(M yM x + M xM y ) . |
||
Аналогичным образом преобразуем и второй коммутатор. Получим:
ˆ 2 |
ˆ |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
(6.2.7) |
[M y |
, M z ] = ih(M xM y + M yM x ) . |
||
Складывая (6.2.6) и (6.2.7), получим искомое равенство. Аналогичным образом выводятся и остальные два
коммутационные соотношения (6.2.4).
Задача 6.2.3. Выведите аналогичным образом первое и второе коммутационные соотношения (6.2.4).
329
6.2.3. Сохранение момента импульса микрочастицы в центральном поле
Из п/п. 5.5.2 следует, что поскольку операторы проекций момента импульса не коммутируют, то они, как правило, не обладают общими собственными функциями. Следовательно, сами проекции момента импульса, вообще говоря, не имеют одновременно определённых значений (хотя отдельные исключения этой теоремой не запрещаются).
Тот же вывод следует из теоремы Гайзенберга (п/п. 5.5.1). С учётом полученных коммутационных соотношений (6.2.2) имеют место следующие соотношения неопределённостей (5.3.8) для проекций момента импульса:
M x rms |
M y rms ≥ h |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||
|
M z |
|
|
|||||||||||
M y rms |
M z rms ≥ h |
|
|
|
|
|
|
; |
(6.2.8) |
|||||
|
M x |
|
||||||||||||
M x rms |
M z rms ≥ h |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
M y |
|
|||||||||||||
Соотношения (6.2.8) означают, что никакие две проекции момента импульса не могут одновременно иметь определённые значения, за исключением случая, когда в данном состоянии микрочастицы, находящейся в центральном поле, среднее значение третьей проекции момента импульса равно нулю.
Напротив, из коммутационных соотношений (6.2.5) и теоремы 5.4.1 о коммутирующих самосопряжённых операторах следует, что операторы квадрата момента импульса (6.2.3) и любой, но только
330
какой–либо одной из его проекций обладают общей полной системой собственных функций.
Это означает, что квадрат (или абсолютная величина) вектора момента импульса и одна из его проекций (любая из трёх, т.к. осям координат можно присвоить обозначения x,y,z в произвольном порядке) всегда имеют одновременно определённые значения. Однако две другие проекции при этом, вообще говоря, не имеют определённых значений.
Например, у операторов Mˆ 2 и Mˆ z имеется общая система собственных функций ψM 2 ,M z :
ˆ 2 |
2 |
; |
(6.2.9) |
M ψM 2 ,M z |
= M ψM 2 ,M z |
||
ˆ |
= M zψM 2 ,M z . |
|
(6.2.10) |
M zψM 2 ,M z |
|
Следовательно, во всех состояниях микрочастицы, которые описывают волновые функции ψM 2 ,M z , динамические переменные
M 2 и M z имеют одновременно определённые значения.
Однако функции ψ M 2 ,M z |
не являются |
собственными |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
функциями операторов M x и M y , и в рассматриваемых состояниях |
|||
микрочастицы динамические |
переменные M x |
и M y суть |
|
случайные величины.
Рассмотренная картина сильно отличается от классической. Получается, что квантовый «вектор» момента импульса, имея
331