6.4. Стационарные состояния микрочастицы в поле центральной силы

6.4.1. Интегралы движения

Если потенциальная энергия частицы, находящейся в поле центральной силы, не зависит явно от времени, то частица находится в стационарном состоянии с определённой энергией E (см. п/п. 2.3.2). Пространственная зависимость волновой функции, описывающей это состояние, описывается функцией u(x, y, z) ,

которая является решением стационарного уравнения Шрёдингера. Это уравнение можно записать в виде уравнения на собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона микрочастицы (п/п. 3.4.4) в центральном поле:

где

= ∂2 + ∂2 + ∂2 ∂x2 ∂y2 ∂z2

— оператор Лапласа.

342

Поскольку потенциальная энергия зависит не от трёх декартовых координат, а от «радиальной» переменной r, для вычисления волновой функции удобно перейти от декартовой к сферической системе координат r,ϑ,ϕ :

При этом оператор Лапласа распадётся на радиальную и угловую части (6.3.7), (6.3.8), а оператор Гамильтона (6.4.1) приобретёт вид

Нетрудно убедиться, что оператор Гамильтона микрочастицы в центральном поле коммутирует с операторами квадрата и проекции момента импульса:

Это означает (п/п. 5.4.1), что в стационарных состояниях микрочастицы, находящейся в центральном поле, одновременно с энергией E имеют определённые значения квадрат (или абсолютная величина) M 2 и проекция на ось z M z (направление которой,

разумеется, может быть выбрано произвольно) момента импульса частицы.

343

Естественно, перечисленные величины не зависят от времени, т.е. сохраняются. По аналогии с классической механикой можно сказать, что три указанные физические величины являются

интегралами движения.

Напомним, однако, что в классической механике интегралами движения являются все три проекции вектора момента импульса — и, как следствие, его квадрат или модуль. Как видим, в действительности (т.е. в соответствии с квантовой механикой) у микрочастицы на один интеграл движения меньше.

6.4.2. Решение стационарного уравнения Шрёдингера методом разделения переменных

Для вычисления стационарной волновой функции микрочастицы в центральном поле используем (точнее, попробуем использовать!) метод разделения переменных, разделив в уравнении (6.4.1) – (6.4.3) радиальную и угловые переменные:

Подставив это произведение в уравнение Шрёдингера, записав в нём оператор Лапласа как сумму радиальной и угловой частей

(6.3.7)

≡ r + r12 ϑ,ϕ ,

344

Но оператор в левой части уравнения (6.4.8) равен Mˆ 2 (6.3.5). Следовательно, данное соотношение есть уже знакомое нам уравнение на собственные функции и собственные значения оператора момента импульса (6.2.9), (6.3.9). Собственные значения этого уравнения (6.3.11)

а собственные функции, принадлежащие этим собственным значениям — сферические функции (6.3.13) Yl,ml (ϑ,ϕ).

Второе уравнение (6.4.7), «радиальное», является обыкновенным дифференциальным уравнением относительно радиального сомножителя R(r) волновой функции частицы (6.4.5) и имеет следующий вид:

или

346

причём C = M 2 (6.4.9).

В левой части уравнения (6.4.10) (в скобках) записано выражение, которое представляет собой сумму потенциальной энергии частицы и центробежной энергии. В классической механике последняя есть просто вклад в кинетическую энергию частицы от вращения (закручивания) относительно центра поля. Назовём рассматриваемую сумму эффективной потенциальной энергией частицы в центральном поле:

С учётом данного обозначения «радиальное» уравнение (6.4.10) примет вид:

где в соответствии с (6.3.8)

Таким образом, применив метод разделения переменных, мы получили из исходного уравнения с частными производными два дифференциальных уравнения: одно, «угловое», решение которого

347