4.5.Теоремы П. Эренфеста

Теоремы Эренфеста показывают, что в уравнении Шрёдингера и других исходных положениях, на которых базируется математический (и понятийный) аппарат квантовой механики, «содержатся» уравнения классической механики Ньютона. Благодаря этому в соответствующем пределе квантовое описание поведения микрочастицы перейдёт в классическое.

В самом деле: в этом пределе, когда неопределённости значений координат и проекций импульса станут настолько «малыми», что их будет невозможно обнаружить (как, например, у падающего кирпича), положение и скорость движения частицы будут практически точно соответствовать средним значениям координат и проекций импульса. И хотя состояние микрочастицы по–прежнему описывается квантовым уравнением Шрёдингера, но фактически, в соответствие с теоремами Эренфеста, её пространственно–временное поведение следует уравнениям классической механики Ньютона. Зависимость от времени средних значений координаты x(t) и импульса px (t) частицы представляет собой в подобных условиях классическую траекторию.

Однако, когда квантовые эффекты существенны, теоремы Эренфеста не дают никакого представления о динамическом поведении микрочастицы и уж, конечно, не могут служить инструментом количественного анализа этого поведения.

Рассмотрим, например, микрочастицу, находящуюся в стационарном связанном состоянии. В этом случае средние значения любых динамических переменных микросистемы не зависят от времени.

262

Всамом деле, поскольку в стационарном состоянии

ψ(t, q) = exp − i Et u(q) ,

h

то при вычислении среднего значения временной множитель пропадает,

F= ∫ψ * Fˆψdq = ∫u * Fˆudq ≡<u | Fˆ | u >,

ивычисленная величина не зависит от переменной t.

Итак, в стационарном связанном состоянии среднее значение координаты микрочастицы x не зависит от времени. И это естественно: если неподвижен центр силы, удерживающий возле себя частицу, то в среднем неподвижна и сама частица. Тогда производная по времени от среднего значения координаты в левой части соотношения, которое доказывается в первой теореме Эренфеста, должна быть равна нулю.

Разумеется, равна нулю и правая часть этого соотношения, пропорциональная среднему значению импульса: если бы эта величина была отлична от нуля, то частица «убегала» бы с соответствующей скоростью от удерживающего её неподвижного центра силы — но тогда её состояние было бы не связанным, а состоянием рассеяния!

263

Таким образом, среднее значение импульса частицы, находящейся в стационарном связанном состоянии, не только не зависит от времени, но и равно нулю.

Раз так, то левая часть соотношения, доказываемого во второй теореме Эренфеста, т.е. производная по времени от среднего импульса микрочастицы, равна нулю. Понятно, что тому же равна и правая часть этого соотношения. В самом деле: чтобы частица не «убежала» от удерживающего её силового центра, сила должна быть возвращающей, т.е. направленной в сторону, противоположную смещению частицы от центра, и «не позволяющей» частице «убежать» ни в какую сторону. В среднем такая сила, очевидно, равна нулю, поскольку её положительные значения в процессе движения частицы полностью уравновешиваются отрицательными.

Таким образом, обе теоремы Эренфеста в рассматриваемом случае принимают вид «ноль равен нулю». Ясно, что извлечь из этих неконструктивных равенств какие–то более детальные количественные сведения о «движении» микрочастицы, находящейся в стационарном связанном состоянии, не удастся. Это и не удивительно: по квантовым представлениям, в рассматриваемом случае никакого движения просто нет.

Как уже разъяснялось в конце п/п. 4.4.2, формулы (4.4.7), (4.4.14), используемые для вычисления средних значений динамических переменных, которые входят в уравнения Эренфеста

(5.1.1), (5.1.2), имеют смысл, только если интегралы (4.4.7), (4.4.14)

сходятся. Указанное требование будет выполнено, если волновая

264