•частица в одномерной симметричной «прямоугольной потенциальной яме» со «стенками» бесконечной высоты
(задача 2.3.1);
•частица в одномерной асимметричной «прямоугольной потенциальной яме» со «стенками», одна их которых — бесконечной, а другая — конечной высоты (задача 2.3.2);
•«одномерная» частица в поле линейной возвращающей силы (2.3.30) («гармонический осциллятор») (задача 2.3.3);
•частица в трёхмерной «параллелепипедальной потенциальной яме» со «стенками» бесконечной высоты (задача 2.3.4).
2.3.5.Общие черты решений одномерных задач о связанных стационарных состояниях
Как видно из решений задач 2.3.1 – 2.3.4, при всей их внешней несхожести у этих решений имеются общие черты, которые следует считать существенными.
Три из них подробно описаны в п/п 2.3.4. Это:
1.Дискретный энергетический спектр, состоящий из отдельных «энергетических уровней» (2.3.33) — «квантование» энергии.
2.«Нулевые» краевые условия, которым удовлетворяет волновая функция (2.3.31), (2.3.32).
3.Нормируемость волновой функции (2.3.34).
Кроме того, есть ещё ряд интересных и важных особенностей.
4. Наинизший |
(«основной») |
энергетический |
уровень |
микрочастицы E1 |
|
|
|
132
E1 = min( En )
всегда располагается строго выше минимума потенциальной энергии Φ(xe ) = Φe (2.3.29), т.е. «дна» потенциальной «ямы»:
E1 > Φe . |
(2.3.38) |
Этот эффект с классической точки зрения означает, что кинетическая энергия микрочастицы, находящейся в «яме», всегда неотрицательна, т.е. частица не может находиться в состоянии покоя, «лежа на дне ямы» с нулевой скоростью. Даже находясь в состоянии с наименьшей возможной энергией (2.3.38), частица вынуждена «двигаться», совершая «нулевые колебания».
5. Плотность вероятности положения микрочастицы в
потенциальной «яме» |
P (x) = |
|
u |
n |
(x) |
|
2 |
(2.3.35) имеет n максимумов, |
|
|
|||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
чередующихся с и n – 1 минимумами – нулями в зависимости от номера состояния n, возрастающего по мере «возбуждения» микрочастицы. С классической точки зрения получается, что микрочастице «нравится» бывать в одних местах «ямы» и «не нравится» в других, и это совершенно не соответствует величине и направлению силы, действующей на частицу. В частности, описываемая картина имеет место и в случаях, когда частица находится внутри «прямоугольных» ям, где потенциальная энергия
133
постоянна и сила, которая бы действовала на частицу, вообще отсутствует.
6. Волновая функция микрочастицы оказывается отличной от нуля в тех областях потенциальной «ямы», где потенциальная энергия Φ(x) больше энергии E, а кинетическая энергия должна быть отрицательной:
K(x) = E – Φ(x) < 0. |
(2.3.39) |
Пространственные области, в которых выполняется неравенство (2.3.39), являются классически недостижимыми,
поскольку скорость частицы, у которой кинетическая энергия отрицательна, должна быть мнимой. Мнимая скорость, разумеется, бессмысленна с любой точки зрения — как классической, так и квантовой. Однако, если в некоторой области пространства волновая функция микрочастицы отлична от нуля, то имеется конечная вероятность её обнаружить в этой области.
Следовательно, микрочастица может находиться в классически недостижимых областях пространства.
Исключением, разумеется, является случай, когда в классически недостижимой области потенциальная энергия частицы равна бесконечности. Поскольку для того, чтобы туда проникнуть, частица должна была бы совершить бесконечную работу, она не может находиться в такой области пространства, т.е. вероятность её пребывания там тождественно равна нулю. Равна
134
нулю и волновая функция частицы в таких пространственных областях.
Перечисленные выше под номерами 1, 4, 5, 6 аспекты поведения микрочастицы, находящейся в связанных состояниях, являются сугубо квантовыми эффектами и совершенно необъяснимы с позиций классической физики. Вместе с тем они вполне согласуются с основными принципами квантовой физики. Например, эффект «нулевых колебаний» нетрудно «объяснить», используя принцип неопределённостей (попробуйте!). Однако подобные «объяснения» в действительности ничего не объясняют и, в общем–то, ничего не стоят. Само собой разумеется, что выводы из квантовой теории соответствуют её основам: чему тут восхищаться? Но объяснить и эти выводы, и сами основы понятным «человеческим языком» невозможно. Вообразить — можно, понять — нельзя (см. п/п. 1.4.5).
Но самое важное, что все обсуждаемые удивительные явления наблюдаются в экспериментах, а некоторые из них весьма успешно используются в технике.
2.3.6. Состояния рассеяния
Если источник силового поля отталкивает классическую материальную точку, или если её кинетическая энергия достаточно велика, чтобы преодолеть связывающее действие силы притяжения источника поля, то материальная точка, в какой–то момент сблизившись с источником поля на некое минимальное расстояние,
135
зависящее от начальных условий движения, затем начнёт неограниченно удаляться. Иными словами, частица приходит из бесконечности и уходит в бесконечность, лишь изменив в результате взаимодействия с источником поля величину и направление скорости движения.
В классической механике такое движение называется инфинитным (infinity — бесконечность, безграничность).
Астрономическим примером тела, осуществляющего инфинитное движение, является космический объект, откуда–то из глубин Космоса залетевший в солнечную систему и спустя некоторый промежуток времени её покинувший. Если небесные тела, принадлежащие солнечной системе, движутся вокруг Солнца по замкнутым эллиптическим траекториям, то траектория космического «гостя» является незамкнутой кривой типа гиперболы с прямолинейными асимптотами, соответствующими свободному движению объекта как до, так и после «посещения».
Строго говоря, инфинитное движение является абстракцией и никогда практически не реализуется. Считая движение объекта инфинитным, мы, скорее всего, судим об этом лишь по ограниченному участку его траектории, который доступен нашему наблюдению из «малой» системы, в которой мы обитаем. На самом же деле, вероятно, данный объект связан с какой–то «большой» системой, в пределах которой он осуществляет финитное движение
— но никакой реальной информацией об этом мы не располагаем. Однако влияние этой «большой» системы на процесс, который мы
136
изучаем, может быть пренебрежимо малым, и тогда мы имеем право игнорировать её наличие.
Ещё одна ситуация, в которой имеет место инфинитное движение — это столкновение, или рассеяние, двух объектов (например, атомов или молекул). Обе частицы, сближаясь «из бесконечности» по прямолинейным траекториям, взаимодействуют («сталкиваются») и затем удаляются «в бесконечность» снова по прямолинейным траекториям — но уже со скоростями, которые изменились по сравнению с первоначальными — и, чаще всего, весьма существенно — как по величине, так и по направлению.
Рассматриваемая система двух сталкивающихся частиц предполагается замкнутой, т.е. наличие других тел во вселенной, которые могли бы воздействовать на движение сталкивающих частиц (в частности, других молекул, находящихся в том же сосуде, а также и стенок сосуда) игнорируется. И такая модель в ряде случаев является вполне адекватной — например, в случае разреженного газа, где молекулы сталкиваются друг с другом редко, если уж сталкиваются — то попарно, а столкновения сразу трёх или четырёх молекул происходят крайне редко.
Простейший случай системы, осуществляющей инфинитное движение — свободная материальная точка, движущаяся по инерции прямолинейно и равномерно.
При квантовомеханическом описании, разумеется, речь не может идти об инфинитном движении микрообъектов. Однако ситуации, подобные рассмотренным выше, описываются в квантовой механике состояниями рассеяния микросистем, которые
137
являются альтернативой связанным состояниям и иногда называются просто «несвязанными состояниями».
Если микросистема замкнута (2.3.8), (2.3.15), то её состояния рассеяния стационарны (2.3.21), (2.3.23). Например, стационарным является состояние микрочастицы, находящейся в поле Φ(r), которое её не связывает, т.е. «позволяет» частице находиться сколь угодно далеко от центра силы. А это означает, что пространственная часть волновой функции частицы теперь уже не удовлетворяет условию(2.3.24): напротив, она не обращается в нуль, а остаётся конечной при неограниченном удалении частицы от источника поля:
limu(r) ≠ 0; 1 ≤ α ≤ 3. |
(2.3.38) |
|||
|
xα |
|
→ ∞ |
|
|
|
|
||
Следовательно, нормировочный интеграл волновой функции микрочастицы (2.1.9) не существует (бесконечен), и плотность вероятности положения частицы в пространстве P(r) = u(r) 2
невозможно нормировать на единицу.
Поскольку пространственная часть волновой функции состояния рассеяния вследствие (2.3.38) не удовлетворяет «нулевым» граничным условиям (2.3.32), её вычисление путём решения стационарного уравнения Шрёдингера (2.3.27) не приводит к решению задачи Штурма – Лиувилля (см. п/п. 2.3.4). Следовательно, отсутствует причина «квантования» энергии
138