неопределённостей между проекцией импульса и потенциальной энергией микрочастицы.

5.4. Общие собственные функции коммутирующих самосопряжённых операторов

5.4.1. Прямая теорема об общих собственных функциях коммутирующих операторов

Теорема 5.4.1. Если операторы коммутируют, то у них — общая система собственных функций.

Доказательство. Пусть

и

Воздействуем на уравнение (5.4.1) «слева» оператором Gˆ :

303

Используя условие коммутативности, в левой части равенства (5.4.3) заменим порядок следования операторов:

собственной функцией оператора Fˆ , принадлежащей собственному значению F, поскольку результат воздействия на неё оператора Fˆ

— это та же самая функция, умноженная на число F.

Но у оператора Fˆ по условию уже есть собственная функция, принадлежащая собственному значению F: это ψF . Следовательно, «новая» собственная функция должна совпадать со «старой» с точностью до численного множителя. Обозначим его G:

вместе с тем является собственной функцией коммутирующего с ним оператора Gˆ , и наоборот. Теорема доказана.

304

Чтобы подчеркнуть то, что у операторов Fˆ и Gˆ — общие собственные функции, принадлежащие одновременно собственным значениям F и G, будем использовать обозначение

Интересно отметить, что в доказательстве теоремы не использовалось условие, что рассматриваемые операторы — самосопряжённые.

5.4.2. Обратная теорема об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов

Теорема 5.4.2. Если у самосопряжённых операторов — общая система собственных функций, то они коммутируют.

Доказательство. Пусть у самосопряжённых операторов Fˆ и Gˆ

— общая система собственных функций (5.4.6)

Воздействуем на первое из этих равенств оператором Gˆ , а на второе — оператором Fˆ :

GˆFˆψF,G = GˆFψF,G = FGˆψF,G = FGψF,G ;

Fˆ Gˆ ψF,G =Fˆ GψF,G = G Fˆ ψF,G = GFψF,G

305

Вычтя почленно первое полученное соотношение из второго, получим:

Полученное соотношение (5.4.7), конечно, ещё не доказывает, что коммутатор рассматриваемых операторов равен нулевому оператору: для этого требуется, чтобы равнялся нулю результат воздействия коммутатора на любую функцию ψ, а не только на любую общую собственную функцию этих операторов.

Поскольку, однако, по условию теоремы операторы Fˆ и Gˆ — самосопряжённые, то их система собственных функций — полная

(п/п. 4.3.3). Разложим произвольную функцию ψ по этой полной системе функций. Используем обозначение, которое можно будет одновременно применять к случаям как дискретного, так и непрерывного спектра собственных значений операторов, т.е. в одних случаях рассматривать как сумму ряда по всем собственным функциям, а в других — как интеграл по собственным значениям:

F G

306