- •ВВЕДЕНИЕ
- •ЛИТЕРАТУРА
- •1. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА — РЕВОЛЮЦИЯ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ
- •1.1. Классическая картина мира
- •1.1.1. Мир материален
- •1.1.2. Две формы существования материи
- •1.1.3. Вещество
- •1.1.4. Поле
- •1.1.5. Сосуществование вещества и поля
- •1.1.6. Экспериментальные факты, противоречащие классической физике
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Классическая механика
- •1.2.1. Уравнения движения
- •1.2.2. Математическая модель
- •1.2.3. Потенциальная энергия
- •1.2.4. Энергия
- •1.2.5. Сохранение энергии
- •1.2.6. Импульс
- •1.2.7. Функция Гамильтона
- •1.2.8. Релятивистская механика
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Классическая теория поля
- •1.3.1. Гравитационное поле
- •1.3.2. Закон всемирного тяготения
- •1.3.3. Потенциальная энергия силы тяготения
- •1.3.4. Сила тяготения
- •1.3.5. Общая теория гравитации
- •1.3.6. Электромагнитное поле
- •1.3.7. Уравнения электромагнитного поля
- •1.3.8. Электрическое поле
- •1.3.9. Напряжённость электрического поля
- •1.3.10. Другие поля
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Основные принципы квантовой физики
- •1.4.1. Краткая история квантовой физики
- •1.4.2. Корпускулярно – волновой дуализм
- •1.4.3. Принцип неопределённостей
- •1.4.4. Вероятностный характер динамических событий
- •1.4.5. Крушение или рождение картины мира?
- •1.4.6. Принцип дополнительности Н. Бора
- •1.4.7. Почему мы не видим квантовых эффектов?
- •Вопросы для самопроверки
- •2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
- •2.1. Волновая функция
- •2.1.1. Волновая функция микрочастицы
- •2.1.2. Вероятностный смысл волновой функции
- •2.1.3. Статистические характеристики случайных величин
- •2.1.4. Статистические характеристики координат микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Вычисление волновой функции
- •2.2.1. Волновое уравнение
- •2.2.2. Волновая функция системы нескольких частиц
- •2.2.3. Волновое уравнение системы нескольких частиц
- •2.2.4. Волновая функция и волновое уравнение частицы с одной степенью свободы
- •2.2.5. Уравнение Шрёдингера в операторном виде
- •2.2.6. Общие требования к решениям уравнения Шрёдингера
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3. Замкнутая микросистема
- •2.3.1. Решение уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •2.3.2. Стационарные состояния
- •2.3.3. Связанные состояния
- •2.3.4. Стационарные связанные состояния
- •2.3.5. Общие черты решений одномерных задач о связанных стационарных состояниях
- •2.3.6. Состояния рассеяния
- •2.3.7. Общие черты решений одномерных стационарных задач о рассеянии микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •3. ОПЕРАТОРЫ ИМПУЛЬСА, КООРДИНАТЫ И ЭНЕРГИИ МИКРОЧАСТИЦЫ
- •3.1. Как построить оператор динамической переменной
- •3.1.1. Зачем нужны операторы в квантовой механике
- •3.1.2. Собственные функции и собственные значения операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •3.2. Оператор импульса
- •3.2.1. Свойства собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.2. Вычисление собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.3. Оператор импульса микрочастицы с одной степенью свободы
- •3.2.4. Операторы проекций импульса микрочастицы и их общие собственные функции
- •3.2.5. Является ли свободная микрочастица «плоской волной»?
- •Вопросы для самопроверки
- •3.3. Оператор координаты
- •3.3.1. Свойства собственной функции оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.2. Дельта – функция Дирака
- •3.3.3. Собственная функция оператора координаты и свойство оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.4. Операторы координат микрочастицы и их общая собственная функция
- •Вопросы для самопроверки
- •3.4. Оператор Гамильтона
- •3.4.1. Принцип соответствия Н. Бора
- •3.4.2. Оператор кинетической энергии микрочастицы
- •3.4.3. Оператор потенциальной энергии микрочастицы
- •3.4.4. Оператор Гамильтона микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •4.1. Пространство волновых функций
- •4.1.1. Функциональное пространство
- •4.1.2. Скалярное произведение функций
- •4.1.3. Амплитуда и вероятность перехода
- •Вопросы для самопроверки
- •4.2. Сопряжённые и самосопряжённые операторы
- •4.2.1. Сопряжённый оператор
- •4.2.2. Самосопряжённый оператор
- •Вопросы для самопроверки
- •4.3. Собственные значения и собственные функции самосопряжённых операторов
- •4.3.1. Собственные значения
- •4.3.2. Собственные функции
- •4.3.3. Полнота системы собственных функций самосопряжённого оператора
- •4.3.4. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Дискретный спектр собственных значений
- •4.3.5. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Непрерывный спектр собственных значений
- •4.3.6. Разложение волновой функции произвольного стационарного состояния микрочастицы по полной ортонормированной системе собственных функций оператора импульса
- •4.3.7. Тригонометрическое представление дельта – функции
- •Вопросы для самопроверки
- •4.4. Распределение вероятностей динамической переменной
- •4.4.1. Вероятность результата измерения динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.2. Среднее значение динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.3. Плотность вероятности результата измерения динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.4. Среднее значение динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.5. Коэффициент разложения как волновая функция в F – представлении
- •Вопросы для самопроверки
- •4.5. Теоремы П. Эренфеста
- •4.5.1. Формулировки, смысл и применение теорем П. Эренфеста
- •4.5.2. Доказательство первой теоремы П. Эренфеста
- •4.5.3. Доказательство второй теоремы П. Эренфеста
- •Вопросы для самопроверки
- •5. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ
- •5.1. Коммутация операторов
- •5.1.1. Основные правила алгебры операторов
- •5.1.2. Коммутатор операторов
- •5.1.3. Коммутаторы операторов координат и проекций импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.2. Свойства произведений операторов
- •5.2.1. Оператор, сопряжённый произведению операторов
- •5.2.2. Самосопряжённые комбинации самосопряжённых операторов
- •5.2.3. Положительно определённые операторы
- •Вопросы для самопроверки
- •5.3. Теорема В. Гайзенберга
- •5.3.1. Неравенство Гайзенберга
- •5.3.2. Следствие неравенства Гайзенберга
- •5.3.3. Соотношение неопределённостей между координатой и проекцией импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.4. Общие собственные функции коммутирующих самосопряжённых операторов
- •5.4.1. Прямая теорема об общих собственных функциях коммутирующих операторов
- •5.4.2. Обратная теорема об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.5. Когда динамические переменные могут, а когда не могут одновременно иметь определённые значения?
- •5.5.1. Что запрещают соотношения неопределённостей
- •5.5.2. Что разрешают теоремы об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.6. Динамическое уравнение Гайзенберга
- •5.6.1. Скорость изменения среднего значения динамической переменной
- •5.6.2. Уравнения Эренфеста как частные случаи уравнений Гайзенберга
- •Вопросы для самопроверки
- •6. МИКРОЧАСТИЦА В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
- •6.1. Момент импульса
- •6.1.1. Центральная сила
- •6.1.2. Момент импульса как классическая динамическая переменная микрочастицы
- •6.1.3. Сохранение момента импульса классической частицы в центральном поле
- •6.1.4. Сохранение энергии классической частицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.2. Оператор момента импульса
- •6.2.1. Коммутационные соотношения между операторами проекций момента импульса
- •6.2.2. Коммутационные соотношения между операторами квадрата и проекций момента импульса
- •6.2.3. Сохранение момента импульса микрочастицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.3. Собственные функции и собственные значения оператора момента импульса
- •6.3.1. Операторы квадрата и проекций момента импульса в декартовых и сферических координатах
- •6.3.2. Собственные значения операторов квадрата и проекции момента импульса
- •6.3.3. Собственные функции операторов квадрата и проекции момента импульса в сферических координатах
- •Вопросы для самопроверки
- •6.4. Стационарные состояния микрочастицы в поле центральной силы
- •6.4.1. Интегралы движения
- •6.4.2. Решение стационарного уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •6.4.3. Радиальное уравнение
- •6.4.4. Характер решений радиального уравнения Шрёдингера
- •6.4.5. Вырождение энергетических уровней
- •Вопросы для самопроверки
- •7. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ МИКРОЧАСТИЦ
- •7.1. Переносное и относительное движение двух частиц
- •7.1.1. Система многих микрочастиц
- •7.1.2. Координаты центра масс и относительного расположения двух частиц
- •7.1.3. Разделение переменных в стационарном уравнении Шрёдингера
- •7.1.4. Центральная сила взаимодействия микрочастиц
- •Вопросы для самопроверки
- •7.2. Двухатомная молекула
- •7.2.1. Эффективная потенциальная энергия межатомного взаимодействия в молекуле
- •7.2.2. Колебательно – вращательные энергетические уровни и радиальные волновые функции молекулы
- •7.2.3. Модель «гармонический осциллятор – жёсткий ротатор» для приближённого описания колебательно – вращательных состояний двухатомной молекулы
- •Вопросы для самопроверки
- •7.3. Атом водорода и водородоподобные ионы
- •7.3.1. Состояния относительного «движения» электрона и ядра
- •7.3.2. Энергетические уровни
- •7.3.3. Волновые функции
- •7.3.4. Сравнение теории с экспериментом
- •Вопросы для самопроверки
импульса, то речь фактически идёт о проверке соответствия действительности самой квантовой механики, а этот вопрос уже неоднократно обсуждался выше.
3.4.2. Оператор кинетической энергии микрочастицы
Этот оператор для случая микрочастицы с одной степенью свободы уже был «де факто» введен в п/п. 3.2.3 — см. (3.2.24):
ˆ |
1 |
2 |
(3.4.6) |
K = |
2m |
pˆ x . |
|
|
|
|
Действие оператора (3.4.6) на любую функцию ψ(t,x), как видно из (3.2.22), сводится к следующему:
ˆ |
h2 ∂2ψ |
|
|
|
|
|
|
K ψ(t,x) =− |
2m ∂x2 . |
(3.4.7) |
|
Следовательно, в «координатном представлении» оператор кинетической энергии имеет вид
ˆ |
h2 ∂2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
K =− |
2m ∂x2 . |
(3.4.8) |
|||
201
Для «обычной» микрочастицы с тремя степенями свободы тот же оператор имеет вид (3.2.37) (см. п/п. 3.2.4):
ˆ |
p2 |
+ p2 |
+ p2 |
|
|
ˆ x |
ˆ y |
ˆ z |
|
|
|
K = |
|
|
|
. |
(3.4.9) |
|
2m |
|
|||
|
|
|
|
|
Действие оператора (3.4.9) на любую функцию ψ(t,r) приводит к результату
ˆ |
h2 |
|
|
K ψ(t,r) =− |
2m ψ . |
(3.4.10) |
|
Таким образом, в «координатном представлении»
ˆ |
h2 |
|
|
K =− |
2m . |
(3.4.11) |
|
Фактически при записи приведенных выше выражений уже использовался принцип соответствия (3.4.1), (3.4.2).
3.4.3. Оператор потенциальной энергии микрочастицы
В соответствии с определением оператора координаты xˆ (3.3.1), а также с учётом материала, изложенного в п/п. 3.4.2,
202
результатом действия оператора f (t, xˆ) любой функции координаты f (t, x) (3.4.5) на произвольную волновую функцию
ψ(t,x) получится новая функция f (t, x) ψ(t,x):
f (t, x) ψ(t,x) = f (t, x) ψ(t,x). |
(3.4.12) |
ˆ |
|
Если потенциальная энергия микрочастицы с одной степенью свободы равна Φ(t,x), то, согласно принципу соответствия (3.4.1), (3.4.2), оператор потенциальной энергии равен
ˆ |
(3.4.13) |
Φ=Φ(t, x ). |
|
ˆ |
|
Отсюда в соответствии с (3.4.12)
ˆ |
(3.4.14) |
Φψ(t,x) = Φ(t,x)ψ(t,x). |
Из (3.4.14) видно, что оператор потенциальной энергии в «координатном представлении» имеет вид
ˆ |
ˆ |
, |
(3.4.15) |
Φ= Φ(t,x)1 |
|||
ˆ
где 1 — единичный оператор (2.2.17).
Если потенциальная энергия «реальной» микрочастицы с тремя степенями свободы есть Φ(t,x,y,z) ≡ Φ(t,r), то, аналогично (3.4.13), оператор потенциальной энергии есть
203
ˆ |
|
(3.4.16) |
Φ=Φ(t, x , y , z ). |
||
ˆ |
ˆ ˆ |
|
Тогда, аналогично (3.4.14), действие оператора (3.4.16) на любую волновую функцию микрочастицы ψ(t,r) ≡ ψ(t,x,y,z) сводится к следующему:
ˆ |
(3.4.17) |
Φψ(t,r) = Φ(t,r)ψ(t,r). |
Из (3.4.17) видно, что оператор потенциальной энергии в «координатном представлении», аналогично (3.4.15), имеет вид
ˆ |
ˆ |
, |
(3.4.18) |
Φ= Φ(t,r)1 |
|||
Точно так же на волновую функцию будет действовать любой оператор, являющийся функцией операторов координат.
3.4.4.Оператор Гамильтона микрочастицы
Вклассической механике функцией Гамильтона называется динамическая переменная, которая определяет энергию механической системы как функцию обобщённых (а как частный случай — и декартовых) координат и импульсов:
E = H(t,q1, q2,..., q f , p1, p2 ,..., p f ). |
(3.4.19) |
204
Функция Гамильтона (3.4.19) является суммой кинетической энергии, зависящей в общем случае как от импульсов, так и от координат, и потенциальной энергии, которая зависит только от координат и, в общем случае, от времени.
Функция Гамильтона микрочастицы (см. п/п. 1.2.7) имеет вид
(1.2.11), (1.2.12):
H (t, r, p) = K ( p) +Φ(t, r) ; K ( p) = |
1 |
p2 . |
(3.4.20) |
|
2m |
||||
|
|
|
Согласно принципу соответствия оператор Гамильтона микрочастицы получим, заменив в (3.4.20) координаты и проекции импульса их операторами. Тогда с учётом изложенного в п/пп. 3.4.2
и 3.4.3 и используя соотношения (3.4.9) – (3.4.11) и (3.4.16) – (3.4.18):
ˆ = ˆ Φˆ
H K +
или, в координатном представлении,
ˆ |
h2 |
ˆ |
H =− |
2m |
+ Φ(t,r)1. |
(3.4.21)
(3.4.22)
Именно этот оператор (3.4.22) был использован ранее под названием оператора Гамильтона в п/п. 2.2.5 для операторной
205
записи уравнения Шрёдингера (2.2.18), (2.2.19). А в п/п. 2.3.2 было показано, что если оператор потенциальной энергии в (3.4.21), (3.4.22) явно не зависит от времени, то микрочастица находится в стационарном состоянии, причём волновая функция микрочастицы, описывающая это состояние, является собственной функцией оператора (3.4.22). В соответствии с принятыми в п/п. 3.1.2 обозначениями запишем соответствующее соотношение в виде
∂Φ |
= 0 |
: |
ˆ |
(3.4.23) |
∂t |
H ψE (t, r) = EψE (t, r) . |
|||
|
|
|
|
В п/п. 2.3.2 было доказано, что собственная функция оператора Гамильтона ψE (t, r) , удовлетворяющая уравнению (3.4.23), имеет вид (2.3.21)
ψE (t, r) =exp |
− |
i |
Et uE (r), |
(3.4.24) |
|
h |
|||||
|
|
|
|
причём uE (r) — также собственная функция оператора Гамильтона:
ˆ |
(3.4.25) |
H uE (r)= EuE (r), |
отличающаяся от (3.4.24) только множителем, зависящим от времени, на который оператор Гамильтона «не действует».
206