2.2.2.Что описывает волновая функция системы, состоящей из нескольких микрочастиц?

2.2.3.Почему в общем случае нельзя решить уравнение Шрёдингера системы, состоящей из нескольких микрочастиц, методом разделения переменных — координат разных микрочастиц? А в каком частном случае это можно сделать?

2.2.4.Запишите оператор Гамильтона для атома водорода, состоящего из положительно заряженного ядра и отрицательно заряженного электрона, которые взаимодействуют по закону Кулона.

2.2.5.Объясните, почему решение уравнения Шрёдингера, которое не является конечной, непрерывной и однозначной функцией пространственных координат, не может являться волновой функцией.

2.3.Замкнутая микросистема

2.3.1.Решение уравнения Шрёдингера методом разделения переменных

Нашей ближайшей задачей является решение волнового уравнения Шрёдингера (2.2.18) для некоторых простейших микросистем, вычисление волновой функции, анализ на этой основе поведения рассматриваемых микросистем и его сравнение с тем, что наблюдается в действительности.

110

Заметим, что поскольку уравнение Шрёдингера однородно, то одно решение этого уравнения известно заранее: это

Решение (2.3.1) называется тривиальным. При этом плотность вероятности реализации любой конфигурации микросистемы тоже тождественно равна нулю:

А (2.3.2) значит, что состояние микросистемы, соответствующее тривиальному решению уравнения Шрёдингера, невозможно или, по крайней мере, невероятно, т.е. не реализуется. Поэтому нас всегда интересуют только нетривиальные решения уравнения Шрёдингера.

Следует, однако, заметить, что даже в простейшем случае микрочастицы с одной степенью свободы (2.2.21) решить «в лоб» дифференциальное уравнение с частными производными (2.2.13), содержащее две независимые переменные, не удастся. Тем более это проблематично в более сложных случаях (2.2.1), (2.2.19) и (2.2.6), (2.2.20), когда независимых переменных ещё больше.

Возникает вопрос: нельзя ли упростить эту сложную задачу, сведя её к решению пусть нескольких дифференциальных уравнений — но обыкновенных, чтобы каждое из них содержало только одну переменную? Ведь способы исследования и решения

111

обыкновенных дифференциальных уравнений разработаны гораздо лучше, чем уравнений с частными производными!

Для реализации этой идеи в математической физике используют метод разделения переменных. Заранее, однако,

следует сказать, что если бы названный метод всегда достигал поставленной цели, значительная часть науки под названием «Методы математической физики» оказалась бы просто бесполезной игрой ума.

Итак, попробуем для начала разделить в уравнении (2.2.18) время и координаты. С этой целью будем искать решение этого уравнения — волновую функцию — в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от времени, а другая — только от пространственных координат [см. п/п. 2.2.5]:

Теперь попытаемся найти уравнения относительно функций

Θ(t) и u(q f ). Для этого подставим правую часть (2.3.3) вместо

волновой функции ψ в уравнение (2.2.18):

или, с учётом (2.2.23) и (2.2.17),

112

Множитель u(q f ), зависящий от координат и не зависящий от времени, вынесем за знак оператора дифференцирования по времени в левой части (2.3.5). Точно так же множитель Θ(t), зависящий от времени и не зависящий от координат, вынесем за

ˆ

знак оператора K , который выполняет дифференцирование по координатам. В результате из (2.3.5) получим:

Наконец, разделим обе части равенства (2.3.6) на произведение

Θu. Чтобы в дальнейшем из–за этого шага не возникли несообразности в результатах, указанное произведение, а следовательно, и каждый из его сомножителей, не должны обращаться в нуль. Поскольку мы отыскиваем нетривиальное решение, ни один из них, во всяком случае, не должен быть равен нулю тождественно. Итак, из (2.3.6) получим:

113

Проведенные преобразования решаемого дифференциального уравнения с частными производными стандартны для метода разделения переменных. Однако пока переменные не разделяются!

А теперь рассмотрим случай, когда потенциальная энергия микросистемы Φ(t, q f ) явно не зависит от времени, т.е.

Иначе говоря, потенциальная энергия зависит только от пространственных координат:

С учётом (2.3.8), (2.3.9) в уравнении (2.3.7) произойдёт небольшое, но очень важное изменение:

Теперь в уравнении (2.3.10) левая часть зависит только от времени, а правая — только от пространственных координат. Поскольку время и координаты — независимые переменные, от которых зависит волновая функция (см. п/п. 2.1.1), а равенство (2.3.10) должно выполняться при любых значениях этих переменных, то обе части рассматриваемого равенства порознь

114

равны одной и той же константе, не зависящей ни от времени, ни от координат:

В самом деле: допустим, равенство (2.3.10) выполняется при некоторых значениях времени и координат. Изменим любую из этих переменных. Если соотношения (2.3.11) не выполняются, т.е. левая часть (2.3.10) меняется при изменении времени, а правая — при изменении любой координаты, то равенство (2.3.10) будет нарушено. Следовательно, соотношения (2.3.11) действительно должны выполняться.

Но каждое из равенств (2.3.11) представляет собой новое дифференциальное уравнение. Первое — это обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции Θ(t):

Второе — дифференциальное уравнение относительно функции u(q f ):

или, с учётом (2.2.23),

115

движения», причём это является прямым следствием условия замкнутости рассматриваемой микросистемы (2.3.8), (2.3.9). К тому же эта константа, как видно из равенств (2.3.11), имеет размерность энергии. Отсюда следует естественный вывод, что константа C и есть энергия замкнутой микросистемы (2.3.15):

С учётом (2.3.16) уравнение относительно «временной» части волновой функции Θ(t) рассматриваемой микросистемы (2.3.12) примет вид

Его общее решение:

где А — произвольная постоянная.

Уравнение относительно «пространственной» части волновой функции u(q f ) рассматриваемой микросистемы (2.3.14) с учётом

(2.3.16) будет выглядеть следующим образом:

117