Соотношение (4.1.10) называется принципом микроскопической обратимости.
Вопросы для самопроверки
4.1.1.Имеется ли аналогия между скалярным произведением векторов в векторном пространстве и функций в функциональном пространстве?
4.1.2.Всегда ли скалярное произведение волновых функций зависит от порядка сомножителей?
4.1.3.Как записать условие ортогональности волновых
функций?
4.1.4.Какова вероятность перехода между состояниями микросистемы, если описывающие их волновые функции ортогональны?
4.1.5.Выведите соотношение, выражающее принцип микроскопической обратимости.
4.2.Сопряжённые и самосопряжённые операторы
4.2.1.Сопряжённый оператор
ˆ
Любому оператору F , представляющему какую–либо динамическую переменную некоторой микросистемы, можно
216
поставить в соответствие множество комплексных чисел. Каждый элемент этого множества определяется парой волновых функций микросистемы:
ˆ |
ˆ |
(4.2.1) |
<ϕ | F |ψ >= ∫ϕ * (Fψ)dq . |
||
Величина (4.2.1) представляет собой скалярное произведение (4.1.5) волновой функции ϕ(t, q) , «стоящей» в левом углу
«операторных скобок» <|>, на волновую функцию χ(t, q):
<ϕ | Fˆ |ψ >= <ϕ(t, q) | χ(t, q)>.
Эта последняя функция, в свою очередь, является результатом воздействия оператора Fˆ на волновую функцию ψ(t, q), «стоящую» в правом углу «операторных скобок» (4.2.1).
χ(t, q)=Fˆ ψ(t, q).
Таким образом,
ˆ |
ˆ |
(4.2.2) |
<ϕ | F |ψ >= <ϕ(t, q) | F ψ(t, q)>. |
||
Комплексное число, определяемое выражениями (4.2.1), (4.2.2), иногда также удобно записывать в виде элемента некоторой
217
матрицы, «нумеруемого» вместо целочисленных индексов обозначениями соответствующих волновых функций:
ˆ |
(4.2.3) |
Fϕψ ≡<ϕ | F |ψ >. |
Рассмотрим другой оператор Fˆ + и, используя определение (4.2.1), поставим ему в соответствие следующую операторную скобку (или матричный элемент):
+ |
ˆ + |
ˆ |
+ |
(4.2.4) |
Fψϕ ≡<ψ | F |
| ϕ >= ∫ψ * (F |
ϕ)dq . |
||
Вычислим комплексно сопряжённое от (4.2.4) выражение:
(Fψϕ+ )*≡<ψ | Fˆ + | ϕ >* =[∫ψ *(Fˆ +ϕ)dq]* = ∫ψ(Fˆ +ϕ)*dq .
Если для любых двух функций ϕ(t, q) и ψ(t, q) выполняется
равенство
ˆ |
ˆ |
+ |
| ϕ >* |
(4.2.5) |
<ϕ | F |ψ >=<ψ | F |
|
|||
или
F |
=(F + |
)*, |
(4.2.6) |
ϕψ |
ψϕ |
|
|
218
то оператор Fˆ + называется сопряжённым оператору Fˆ . Сопряжённый оператор — это, в известном смысле, аналог
комплексно сопряжённого числа. Следует, однако, понимать, что операция комплексного сопряжения (F*) применима только к числам, и поэтому для обозначения сопряжённого оператора мы используем другое обозначение ( Fˆ +).
Напомним читателям некоторые аналогии рассматриваемых операторных скобок или матричных элементов сопряжённых операторов с матрицами, которые изучаются в обычной линейной алгебре.
В теории матриц с вещественными (действительными) матричными элементами всякой матрице с элементами Aαβ можно
поставить |
в |
соответствие транспонированную матрицу с |
элементами |
~ |
= Aβα . В этом случае матрица, сопряжённая по |
Aαβ |
отношению к исходной, совпадает с транспонированной матрицей. Приведенное соотношение похоже на (4.2.6).
Если матричные элементы — комплексные числа, то матрицей, сопряжённой по отношению к исходной, называется
транспонированная |
матрица с |
комплексно – сопряжёнными |
||
элементами: |
+ |
|
~ |
Это соотношение полностью |
Aαβ |
= (Aβα )* = (Aαβ ) *. |
|||
аналогично (4.2.6).
В качестве примера докажем следующее соотношение.
Теорема 4.2.1: операторы дифференцирования ∂∂x
являются взаимно сопряжёнными, или
219
|
∂ + |
∂ |
. |
(4.2.7) |
||
|
|
|
= − |
|
||
|
∂x |
|||||
|
∂x |
|
|
|
||
Доказательство. Действительно, для любых нормируемых функций ϕ(x) иψ(x) (аргумент t для сокращения не выписываем)
|
|
∂ |
|
∞ |
ϕ * dψdx = |
|
|
∞ |
|
∞ |
ψ dϕ *dx = |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
<ϕ | |
|ψ >= |
∫ |
ϕ *ψ |
− |
∫ |
|||||||||
∂x |
−∞ |
|||||||||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
dx |
|
|
|
−∞ |
dx |
|||
|
∞ |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
∫ |
ψ *(− dϕ)dx |
* |
=<ψ | − |
| ϕ >*. |
|
|
|||||||
∂x |
|
|
||||||||||||
|
−∞ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В приведенных выкладках выполняется интегрирование по частям,
ипри этом используется свойство нормируемых функций быстро обращаться в нуль, когда модуль аргумента x неограниченно возрастает. Доказательство основывается на применении определения (4.2.5).
Теорема 4.2.2: если |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
A = cF , где c — комплексное число, то |
||||||
|
|
ˆ + |
ˆ |
+ |
. |
(4.2.8) |
|
|
A |
= c * F |
|
||
Доказательство. В самом деле, для любых функций ψ,ϕ
<ϕ ˆ ψ > = ∫ϕ ˆ ψ = (∫ ˆ )
| A | * [ *(cF) dq]* c * ϕ * Fψdq * =
220